ML

C'est un diviseur de f{n). Il est égal à 'S>{n) quand n a des racines primitives.

Théorème d'Euler perfectionné (*). — On a pour tout entier a premier an

a'/W= I (mod. n).

•Car on a

aX-la") == I (mod. 2"")

■Exemple :

L'exposant maximum pour 2' est / (2*) = 2, pour 3^ c'est

'pour 5 c'est

Pour 360 c'est le plus petit multiple commun de 2, 6, 4 soit 12. On a /(36o) = 13 ; et pour tout entier a, non divisible par 2, 3 ou 5, on a

a'- ^ 1 (mod. 36o);

tandis que le théorème d'Euler donne seulement

a*' ^ I (mod. 36o).

21. Généralisations de la théorie des indices. — 1" Lorsque n est de l'une des formes

il a des racines primitives, et la théorie des indices subsiste sans aucune modification.

(1) Gaughy, C. R. s. a. p., 12 (184 1), p. 824, 8A5 = Œuvres (i). t. 6, p. ia4, 146.

Exemple, — Soit

<ji = 3 est une racine primitive.

On a

3*0 = 11 3*' = 10 (mod. 72).

Donc o est l'indice de 1,1 est l'indice de 3, ... 4î est l'indice de 10, la base étant 3, et tous les indices étant définis au module Ix^ près.

2° Soit maintenant

Il y a

cp(2"') = 2"'~*

entiers impairs incongrus deux à deux (mod. 2"'), par exemple :

D'autre part on sait (n» 19) que 3 appartient relativement au module 2'" à l'exposant le plus élevé possible qui est 2"'~^. Ainsi

représentent au module 2'" près, la moitié des entiers (7). Je dis que

représentent les autres.

En effet les entiers (9) sont incongrus entre eux deux à deux, puisque les entiers (8) le sont. I) suffira de démontrer qu'un quelconque des entiers (9) et un quelconque des entiers (8) sont incongrus entre eux.

Or si l'on avait

(10) 3'' = — 3^:' (mod. 2'") on en déduirait

(3^- -4- 3*') {i" — 3^') = o (mod. 2'»+') c'est-à-dire

32ft = 32A. (n^od 2^+1)

par suite

2/t ^ 2/1-' (mod. a""-') ou

k = k' (mod. 2»"-*) d'où

Mais pour k = k' la condition (lo) n'est pas satisfaite.

On en conclut que les entiers (8) et (9) représentent tous les entiers (7) au module 2'" près. C'est-à-dire que : Pour tout entier impair a, on a

a = (— i)'3' (mod. 2'")

£ étant déterminé au module 2 près et i au module 2"'~* près.

L'ensemble des deux entiers s, /, s'appellera le système d'indices de a relativement au module 2'". Il est facile de voir que les propriétés des indices démontrées au n» 9 se généralisent pour ces systèmes d'indices. Prenons par exemple le théorème 1. Soit

a' = ( ,)' 3'' , (mod. a'

On a

aa'... = {- 1)^ + ^' + - 3' + '' + -

Par conséquent les indices de aa ... sont

e -h s' -h ... et i-hi'H-...

3" Soit maintenant

m pouvant être nul. Si m ;= o ou i, tout entier a premier à n, a un indice relatif à p*, un indice relatif à c/'^, etc. ('). Si m = 2, a a un indice relatif à 2^, un indice relatif à /)*, un indice relatif à «/?, etc. Enfin si m > 2, a a deux indices relatifs à 2"*, un indice relatif à p^, etc. Dans tous les cas, l'ensemble de ces indices s'appelle le système d'indices de a. L'indice relatif à /)* n'est déterminé

(*) On suppose, qu'on ait choisi une base d'indices pour p'*, une pour q ,

etc.

qu'au module <p(/>*) près, celui relatif à </? n'est déterminé qu'ai> module ç(<7?) près, etc., celui relatif à 2'' n'est déterminé qu'au module 2 près, enfin les deux indices s, j, relatifs à 2"' [m >> 2) ne sont déterminés respectivement qu'aux modules 2 et 2"'~^ près. C'est ce que nous appellerons, pour abréger le langage, être déterminé. De même a sera dit déterminé, s'il est déterminé au module n près. Alors :

A tout entier déterminé correspond un système d'indices déterminé et réciproquement.

En effet, a étant déterminé au module n près, est déterminé aussi aux modules 2'", p^, </?, ... près, donc ses indices sont déterminés. Réciproquement si ses indices sont déterminés a est déterminé aux modules 2'", p*, gr?, ... près et comme ces modules sont premiers entre eux deux à deux, a est déterminé au module n près (n° 1).

Les propriétés des indices démontrées au n° 9 se généralisent encore pour ces systèmes d'indices. En effet, soient deux entiers a et a' premiers à n et soient

^» '1 ipi *yi ••• le système d'indices de a t, i', i'p, i',, ... le système d'indices de a'.

(Si l'on a m = 2, £ et c' n'existent pas, si l'on a m = i ou o, B, i' , i, i' n'existent pas, mais la démonstration n'en est pas changée).

On a :

^ ' , .,} (mod. 2'») ^^^, (mod. /)°') ...

{Qp est la base des indices i^,, i',,, etc.). On en déduit :

aa' = (— i)^+^'3'+'' (mod. 2'»} aa' = {g, )'"+''' (mod. y>*) ... Donc le système d'indices de aa' est

e + s', i H- i', ip -h i'p, ... On généralise sans peine les autres théorèmes du n° 9.

22. Calculer Texposant d'un entier déterminé par son système d'indicés. — Pour ne plus avoir à distinguer plusieurs cas

suivant la présence ou non du facteur 2 à un exposant supérieur ou non à 2, nous désignerons par t, j, k, ... les indices d'un entier a, le premier étant déterminé au module I, le second au module J, le troisième au module K, ... près. Ainsi si le facteur 2 n'entre pas dans n ou s'il n'y entre qu'à l'exposant i, on aura

.Si le facteur 2 entre dans /i à la seconde puissance on aura

Enfin si le facteur 2 entre dans n à une puissance d'exposant m supérieur à 2, on aura

I = a. J = 2'"-2, K = cp(p''), ...

L'exposant maximum par rapport à n qu'on a désigné par X(/i) est le plus petit commun multiple de I, J, K, ...

Soit donc un entier a, soient i,j, ... ces indices. Les indices de ft'' sont di, dj, ... et pour que

a'' ^ 1 (mod. /»), il faut et il suffit que

di^^ o (mod. I) dj ^ 0 (mod. J)

Ces conditions équivalent respectivement à

Àl

D(i, I) jjiJ

)., a, ... étant des entiers. Donc la plus petite valeur de d qui y satisfasse, c'est-à-dire l'exposant cherché est :

LD(f,I)'D(j,J;'-J

En particulier on retrouve que l'exposant maximum est M(I, J, ...) et que tout autre est un diviseur de celui-là (n" 20).