II. — Nombre de solutions de la congruence
x'' ^ i [ mod . p ) .
Il n'y a qu'un exposant I qui est p*— ' (p — i) si p est impair ou si p = 2 et a < 3. Si y> = 2 et a > 3 l'exposant I est égal à p*— =*. Dans les deux cas on a D (p, I) = p. Donc la congruence a p solutions.
D'ailleurs ces solutions sont évidentes ce sont les entiers :
En effet ces p entiers sont incongrus deux à deux (mod. p«) et ils satisfont à la congruence proposée, comme on le voit immédiatement en développant (i -h p^—'z)'' par la formule du binôme.
26. Résolution d'une congruence algébrique à module non premier. — Nous allons montrer comment cette résolution se ramène à celle de congruences à module premier.
Congruence f[x)^o {mod. p*) (p = nombre premier, a > i).
1"^' Méthode. — Nous opérons de proche en'proche suivant les valeurs croissantes de a. Nous supposons donc résolus la congruence
f{x) = o (mod.p""')- Nous emploierons dans ce qui va suivre la formule dite de Taylor. Cette formule, pour un polynôme f{x) de degré m est la suivante :
f{x -+- h) =f{:c) + 'lj'icc)-i-^f"{x) + ... + ,^/""H^) (^) SI p = a, a = I, la réponse est évidente.
GÉrsÉRALISATlON POUR LES MODULES NON PREMIERS 77
/' (x) désigne la dérivée (I. 245) àef(x) ; f"{x) est la dérivée de/' (x) ou dérivée seconde def(x), etc. Celte formule est classique.
Une solution de
(17) /(a-) = o (mod. p') est aussi solution de
(18) y(a:) = o{tnod./~').
Soit donc Xo une solution de cette dernière. Il faudra, dans (17), poser
X = Xo -H /)*"'/
et déterminer y au module p près. Il vient :
/U + /'"'" V). = o(mod./) ou, d'après la formule de ïaylor :
Ji^o) +/~'j/'(^o) + ...:= o (mod. p«).
Les termes non écrits contiennent en facteur p^^—O. Or 2 (a — 1) ^ a puisque a > l .
On peut donc négliger ces termes. Ensuiie comme /(a7„) est divisible par y>*—' on peut diviser tous les termes et le module par //-'-' et l'on est amené à
('9) -^-i-y/'W^oCmod./))
qui est une congruence du premier degré à module premier, qui doit déterminer y au module p près.
Si/'Ixq) ^ G (mod. p), la congruence (19) a une solution et une seule ; dans ce cas la solution x,, de (19) fournit une solution et une seule de (18).
f(x ) Si/' (xo) = o (mod. p) avec*'-^' ^ o (mod. p), la congruence
(19) est impossible ; dans ce cas la solution Xo de (19) ne fournit aucune solution de (18).
Enfin si
/'(^o)=-^^ = o(mod.p).
^8 THÉORIE nES NOMBRES
la congruence (19) a p solutions dans ce cas, la solution x^ de (19) fournit/) solutions de (i8).
2' Méthode ('). — Il suffit de trouver les solutions x de (17) telles que
o <$ rc < p*.
Or un tel entier, écrit dans le système de numérateur de base p se met sous la forme
x^ H- x,p -+- x,p'- -+- ... + x^,p''-' Xq, Xi, ... Xoi—i étant les chiffres, c'est-à-dire des entiers tels que
O < Xa < /).
De plus une valeur de x ne se met sous cette forme que d'une façon. On remplace ainsi l'inconnue x par les inconnues Xo,Xi, ...
Xa i.
La congruence proposée devient
<2o) /(xq -+- xip -+-.... H- x^^p°^) = o (raod. p"').
On va écrire successivement que le premier membre est divisible parp, /)*, ... /)*—'. En écrivant qu'il est divisible par p, on a
/(xo) = o (mod. p)
c'est-à-dire la congruence (17). Si elle est possible elle détermine -complètement Xq. Ensuite, Xq étant déterminé, en écrivant que le premier membre de (20) est divisible par p^, on peut négliger les termes en jd^, p\ ..., il vient
■ou, après la même transformation que dans la première méthode :
J^^ -+- x,f' (x,) = o (mod. p)
qui détermine complètement xi si elle est possible.
Ensuite on va écrire que le premier membre de (20) est divisible par p^ Pour cela on peut négliger les termes en p^ p*, ... «t écrire
/(a-o + xip -f- xop') ^ o (mod. p^)
(^) Cette méthode est inspirée de la tliéorie des nombres padiques de M. K. Heksel.
OU
qui détermine complètement Xi si elle est possible, etc. Celte méthode ne diffère pas au fond de la précédente.
Comme exercice, nous proposons au lecteur de reprendre •d'après les méthodes de ce numéro les deux applications du n°25.
27. Gongruence algébrique suivant un module quel- <:oiique. — Soit
(ai) f{x) = o (mod. n)
n contenant plusieurs facteurs premiers différents
Soit, plus généralement, n = n'if ..., les entiers n',n\... «tant premier entre eux deux à deux. Une solution de (21) doit ^tre solution des congruences
[ J(x) ^ o (mod. /t) <32) 1 /(x) =0 (mod. n')
Réciproquement un entier solution de toutes les congruences (22) le sera aussi de la congruence (21) puisque n', n", ... sont premiers entre eux deux à deux.
Si l'une des congruences (22) est impossible, la congruence. proposée l'est aussi.
Si les congruences (22) sont toutes possibles, soit x' une solu- . lion de la première, x' une solution de la seconde, etc. ; on a une solution de la proposée en cherchant x tel que
. X ^ x' (mod. n') X ^ x" (mod. n")
Il y a une valeur de x et une seule (mod. n satisfaisant à ces conditions (n° 1).
28. Généralisation pour une congruence algébrique à un nombre quelconque d'inconnues. — La résolution d'une telle
So THÉORIE DES NOMBRES
congruence :
/(a-, y, z, ...) ^ o (mod. n) ^
se ramène à celle des congruences
f(x, Y,z, ...) = o (mod. p) f(x,Y, z, ...) = o(mod. 9)
/), </,"... étant les facteurs premiers de n.
