I. — Congruence /{x, j, r, ...) ^ o (mod
On a besoin de la formule de Taylor relative aux polynômes à plusieurs variables. Celte formule est
/(x 4- /t,y + Av + /,...)==/(rr,j,z.. ..) + (/./; 4-A/;-h//;H-...)-+-...
f{x, y, z, ...) est un polynôme entier par rapport aux variables, x, y, z, -.•■, fj,jy , Jz ••• désignent les dérivées de ce polynôme par rapport à a;, j, z, ..., les termes non écrits au second membre sont, par rapport à h, k, l, ... d'un degré supérieur au premier et nous n'en aurons, pas besoin.
Soit a?o, Jo» 2^of ••• une solution de
f{x, y, z, ...) = o (mod. p"~').
On pose
et l'on a à déterminer |, y;, ... au module p près par la congruence
/(xo+y^*""';, jo 4-/~'»l, ...) =o (mod. p°').
Développant par la formule de Taylor et opérant comme au n° 26, on trouve
?/xo(^o, 7o, ...) -H V'.vo(^o, Jo, ...) + ... -^ftlll^ = o (mod./;).
^^/'^o'/'î/o' •••lie sont pas tous ^ o (mod. p) cette congruence à p''-^ solutions, k étant le nombre d'inconnues, d'où p*^' solutions pour la congruence proposée.
Si A„ = /.„ = ... = o (mod. p) et que -^^^ ; -^ * o
?JOTES ET EXERCICES 8l
(mod. p), la solution x^, Jq, Zq, ... n'en fournit aucune pour la congruence proposée.
Si
2, Vy, ... sont indéterminés, donc la solution Xo, jo» ••• ^n fournit /}* de la congruence proposée. On peut d'ailleurs procéder par une deuxième méthode comme plus haut.
II. — Congruence J{x, y, z, ...) = o {mod. n'n\.., les entiers n\n\... élani premiers entre eux deux à deux.
On pose les congruences
f{x,y, ...) = o (mod. n') J{x,y, ...) = 0 (mod. n").
Si l'une d'elles est impossible, la congruence proposée l'est aussi :
Sinon soit x' , y\ ... une solution de la première x" , y\ ... une solution de la seconde
On détermine x, y, ... par les conditions
( X EE x' (mod. n) y ^y'- (mod. n') ... (a3) ] x = x" (mod. n") J =/ (mod. n') ...
Le nombre de solutions de la congruence proposée est égal au produit des nombres de solutions de toutes les congruences (28).
I. — Application du théorème d'Ealer à V analyse diophantienne du premier degré.
Soit à résoudre l'équation : •
ax -\- ny = b ou, ce qui revient au même la congruence :
ax ^ b (mod. n).
Cahek. — Théorie des nombres, t. II. 6
8a THÉORIE DES NOMBRES
On peut supposer a premier à n (I. 139). Alors le théorème d'Euler perfectionné donne
aX('»)r= I (mod. n)
Donc ba^-^"''~^ est une solution de la congruence proposée et on en déduit toutes les autres.
II. — Généralisation du théorème de Fermai autre que le théorème d'Euler (»). On a
' an — VflP , Vq/»? ... = o (mod. n)
a et n étant deux entiers quelconques, p, q, ... désignant les facteurs premiers de n, les signes y s" étendant à tous ces facteurs premiers.
Si n est premier ce théorème se confond avec celui de Fermât. Si n = p* il se confond avec celui d'Euler. Dans les autres cas, c'est un théorème différent. Démonstration. L'expression peut s'écrire
aP[a P iJ VaP7[a PI -i\-^S^aPr[a Pr -ij...
les signes 2, ^^ s'étendant plus cette fois qu'aux facteurs premiers . 7, r, ...
Les quantités entre crochets sont de la forme a'''*'/' ' — 1, elles
sont donc divisibles par//, si a n'est pas divisible par p.
Si a est divisible par p, ce sont les facteurs des crochets qui sont, divisibles par yj*.
Sur cette question voir aussi :
KoENiGs {Bull des S. M. (2). 8 (i88/»), p. 286).
BoREL et Drach, Introd. à la Th. des N., Paris (1895), p. 5o.
