Calcul des radicaux. Exposant rationnel- — On a les
théorèmes exprimés par les égalités suivantes :
\/abc = '\/a \/b\^c
m / mpq l~
dans lesquels a, 6, c, désignent des nombres positifs quelconques. Ces résultats sont classiques.
On en déduit la notion d' exposant fractionnaire. Par définition
On démontre que la valeur de a ^ ainsi définie ne change pas si —
change de forme sans changer de valeur. Ainsi a == a . L'exposant négatif — u où a désigne un nombre positif rationnel quelconque se définit par l'égalité
L'exposant nul se définit par
On a ainsi défini a^ pour toute valeur rationnelle de x, a étant positif.
l44 THÉORIE DES NOMBRES
On a
{abcy = a'b'c'
/ay a*
Tous ces résultats sont classiques et nous ne les démontrerons pas.
Exposant irrationnel. — Enfin on définit l'expression a* où a est positif et a irrationnel comme la limite de a*", a„ étant un nombre rationnel tendant vers a. Toutes les règles de calcul rappelées plus haut s'appliquent à ces exposants. Nous renvoyons aux traités d'Analyse pour les détails.
72. Séries. — Les suites convergentes se présentent souvent sous forme de séries.
Soit une suite de nombres Uj, Uo, ... u„, ... On considère la suite :
Si = Ui Si = Ui -h «2, ... S„ = ui -4- uj -h ...• -h M„, ...
On dit que la série Ui -+- U2 -t- ... -h u„ H- ... est convergente et a pour somme S lorsque S„ tend vers S. Nous désignerons souvent S„
par y^Un et S par ^u„. Nous supposerons connus les résultats sui-
vants qui sont classiques.
Une série dans laquelle u„ ne tend pas vers zéro est divergente. Une série à termes positifs dans laquelle Sn < A quel que soit n, A étant un nombre Jîxe, est convergente et a une somme <^ A.
73. — Règles de convergence de d'Alemberl. i° Si dans une série on
<^ q <C i {q constant) la série est
a, à partir d'un certain rang convergente.
2° Si dans une série on a, à partir d'un certain rang, série est divergente.
> I la
3° Si dans une série on a lira
<; 1 la série est convergente.
RAPPEL DE THÉORIES d'aNALYSE 1^5
4° Si dans une série on a lim
';> i la série est divergente.
Règles de convergence de Cauchy. i° Si dans une série on a, à partir
d'un certain rang y |«n| < 9 <^ ^ (^ constant) la série est convergente.
3° Si dans une série on a, à partir d'an certain rang, V l"nl > i ^« série est divergente.
3° Si dans une série on a lim v l""| <C i ^^ série est convergente.
4° Si dans une série on a lim \/\un\ > i la série est divergente.
On remarquera le parallélisme des trois premiers énoncés dans les règles de d'Alembert et de Cauchy, qui ne se conserve pas dans les quatrièmes.
et V l""i ^^^ ^^^
Dans les applications il arrive souvent que
limites. Dans ce cas on démontre que ces deux limites ont la même valeur et, suivant que cette valeur commune est plus petite ou plus grande que i , la série est convergente ou divergente.
La série S — est convergente si p >> I , divergente si p <^ i.
74. Pour qu'une série soit convergente il suffit que la série jormée par les valeurs absolues de ses termes le soit mais cette condition n'est pas nécessaire. Les séries dans lesquelles elle est remplie sont dites absolument convergentes.
Dans une série absolument convergente on peut changer t' ordre des termes sans changer la somme. Dans une série non abs9lument convergente on peut changer l'ordre des termes de Jaçon que la série ait telle somme que l'on veut.
Rappelons à ce propos ce qu'on appelle changer l'ordre des termes dans une suite infinie Ui, «2» ••• C'est écrire une seconde suite Ui, V2, ... telle que i° étant donné n on peut trouver n' tel que u„, = u„ et à deux valeurs différentes de n correspondent deux valeurs différentes de m' ; 2° étant donné n' on peut trouver n tel que «„ = i;„, et à deux valeurs différentes de n' correspondent deux valeurs différentes de n.
On dit encore que les suites «i, u^ ... et Ui, 1»^ . . sont composées des mêmes termes. Ce n'est pas autre chose que la définition déjà donnée (I. i5) pour les suites finies.
Séries alternées. — ■ On appelle ainsi les séries dans lesquelles les termes sont alternativement positifs et négatifs. Pour qu'une telle série Su„ soit convergente, il suffit que la valeur absolue de Un décroisse Gahen. — Ihéorie des nombres, t. II. lo
l46 THÉORIE DES NOMBRES
lorsque n croît et tende vers zéro. Si l'on suppose u, >> o pour fixer les idées (de sorte que Uo < o. «3 >> o, etc.), les sommes d'indices pairs S2, Si^... vont en croissant et tendent vers la somme S de la série par valeurs plus petites qu'elles, les sommes d'' indices impairs Si, S3, ... vont en décroissant et tendent vers S par valeurs plus grandes qu'elle. De plus |S-S„|<1»„,,1.
75. Opérations sur les séries- — Lorsque deux séries Su„ et Lv„ sont convergentes les séries I.(u„ -\- u„) et S(u„ — v„) le sont aussi et ont des sommes égales respectivement à Zu„ -+- Xi>„ et à 2u„ — 2y„.
Si les deux séries iSu„ et I.v„ sont convergentes, si de plus l'une d'elles est absolument convergente, la série 2(uii;„ -4- u-2V„i + ... + u„Ui) est convergente et a pour somme Su„ X Sy„.
76. Produits infinis: — Nous supposons aussi connus les principaux "théorèmes relatifs aux produits infinis. On considère la suite
Pj = I H- u,, P.^ = (1 -f- Ui){l + «2) ••• Pn = (l 4- Ui)(l + U2) ... (l H- «n) ...
On dit que le produit (1 -+■ Ui)(i ■+- Uj).., est convergent lorsque la suite Pj, P2, ... l'est et que sa limite est différente de zéro. La limite P de cette suite est dite la valeur de ce produit infini. Nous désignerons
aussi P„ par 1 1 (i + "„) et P par I I (1 -h u„) ou simplement 1 I
par JJ(i 4- Un).
La convergence du produit 1 | (t + u„) se ramène à celle de la série 2^ ^^?) (1 4- «n). En particulier, un produit I I (i 4- «n) dans lequel
Un ne tend pas vers zéro n'est pas convergent.
Si les Un sont tous positifs, une condition nécessaire et suffisante pour
que le produit 1 1 (i 4- «n) soit convergent est que la série ^«n le soit.
Il en est de même si les «„ sont tous négatifs.
Si les Un ne sont pas tous positifs pour que | 1 (i + "») soit convergent, il sujfit que TT(i 4- jUnD» et par conséquent que ^|««| le soit. Les produits dans lesquels cette condition est remplie sont dits
RAPPEL DE THÉORIES d'aNALYSE 1^7
absolument convergents. On peut y changer l'ordre des facteurs sans y changer le produit. Dans un produit non absolument convergent on peut changer l'ordre des facteurs de façon que le produit ait telle valeur que l'on voudra.
77. C'est le plus souvent par des suites convergentes, et plus particulièrement par des suites convergentes de nombres rationnels qu'on définit les nombres réels. Par exemple on définit un nombre e comme somme de la série convergente
La question se pose alors, un nombre étant défini de cette façon de calculer sa partie entière et les n premiers chiflres de sa partie
décimale, autrement dit de l'évaluer à — j, près.
Plus généralement soit/(rt, 6, c, ...) une expression contenant les signes d'opérations connues (addition, soustraction, multiplication, division, extraction de racines). On suppose connus les développements' en décimales de a, 6, c, ... trouver celui de f{a,b,c, ...).
Pour cela remplaçant a^b, c, ... par leurs valeurs à une unité, un dixième, un centième, etc., près on peut (par des procédés classiques que'nous ne développerons pas ici, évaluer dans chaque cas une limite de l'erreur commise sur f{a, b, c, ...) ('). (On appelle erreur commise sur un nombre a quand on le remplace par a^^, la différence a — ao). A cause de la Continuité de f[x, y, z, ...) cette erreur tend vers zéro quand les erreurs commises sur a, b, c, .,. tendent elles-mêmes vers zéro.
78. Nonabres complexes. — Enfin nous rappellerons le calcul des nombres imaginaires ou complexes qui est classique. iJn tel nombre est de la forme a -+- bi, a et 6 étant des nombres réels quelconques, i étant un signe, a est dite la partie réelle, bi la partie imaginaire du nombre a -h bi. «.
(1) Il ne faut pas oublier, dans cette évaluation, que celle erreur provient de deux causes, d'abord des erreurs commises sur a, b, c. ... et ensuite de l'erreur commise dans le calcul de /(a, 6, c, ...).
On convient que a -+- oi est la même chose que a, de sorte que les nombres réels sont des cas particuliers des nombres imaginaires. Lorsque 6 = i on ne l'écrit pas. Ainsi 2 -h i signifie 2 -f- li.
Egalité. — Le nombre a -\- bi est dit égal k a! ■+■ b'i lorsque a = a! el b = b'. En particulier a -h 6i = o lorsque a = b = o.
Opérations rationnelles entières. — Elles se déûnissent par les égalités
(a + bi) + (a' -+- bi) = a -\- a' -\- {b -+- b') i (a H- 61) — (a' -h b'i) = a — a' -h {b — b')i (a -h bi) [a' -h b'i) = aa' — bb' -h {ab' + a'b)i
Elles jouissent des mêmes propriétés de commutativité, d'associalivité, de distributivité que les opérations de même nom sur les nombres réels.
Division. — Le rapport de deux imaginaires se définit comme celui de deux nombres réels. Il existe quand le diviseur n'est pas nul. On a
a -h 6i aa' -+- 66' . — ab' -+- a'b .
Le rapport de deux nombres ne changent pas quand on les multiplie tous deux par un troisième.
79. Nombres conjugués» — Les nombres a -t- 6i et a — bi sont dits conjugués. Sif{x, y, ...) est le résultat d'opérations rationnelles exécutées sur des nombres x, y, ••• J{a H- bi, c -+- di, ...) Gif (a — bi, c — di, ...) sont conjugués.
La formule du binôme, la théorie des déterminants, celle des équations du premier degré se transportent sans difficulté aux nombres imaginaires.
Lorsque a et 6 sont rationnels, a -\- bi est un nombre du corps G (v/ — 1) défini au chapitre II.
On appelle modale de a + 61, la quantité \/a^ -h 6'^ . Lorsque a et 6 sont rationnels c'est la racine carrée de la norme définie au n° 40. Lorsque 6 est nul, le module de a n'est autre que la valeur absolue de a. Pour cette raison le module de a -h 6j se désignera par la notation ( a-\~bi\. Deux nombres conjugués ont le même module. Le module d'un produit de facteurs est égal au produit des modules des facteurs.
Le module d'une somme est au plus égale à la somme des modules des termes de cette somme. L'égalité
RAPPEL DE THÉORIES d'aNALTSE 149
n'a lieu que lorsque
et que de plus a, a' ... sont tous de même signe.
80. Racine carrée. — Toute imaginaire a + 6i a deux racines carrées égales mais de signes contraires, sauf o qui n'a pour racine que o. Ces racines sont données par les formules
e étant -i- ou — i suivant que 6 est positif ou négatif. En particulier un nombre réel négatif — a a comme racines carrées rL /a t.
Les racines carrées de deux nombres conjugués sont conjuguées. Leur module commun est la racine carrée de celui de ces nombres.
Toute équation du second degré à coefficients réels ou imaginaires
ax^ H- 6x 4- c = 0
a deux racines, réelles ou imaginaires. Si le déterminant 6^ — [\ac est nul, ces racines sont égales. Si a, b, c, sont réels les deux racines sont conjuguées. Les théorèmes du n" 50 sur la somme et le produit des racines s'appliquent dans tous les cas.
81. — La théorie des suites convergentes, celle des séries et celle des produits infinis rappelées plus haut pour les nombres réels, s'appliquent aux nombres complexes. Il faut y remplacer les mots « valeur absolue » parle mot « module ». Pour qu'une suite
«0 + v^i, Ui + vii, ...
converge vers une limite u + iv, il faut et il suffit que la suite Uq. «1, ... converge vers u et la suite Uq, Vi, ... vers v. On distingue encore les séries absolument convergentes et les séries convergentes non absolument, de même pour les produits.
82. Représentation géométrique des nombres réels. — Avant pris sur un axe dirigé une origine 0 et choisi une unité de longueur, on a vu (I. 1^4) comment on représente un entier a par le point A d'abcisse a.
Pour représenter un nombre rationnel t , (6 entier ]> o) on divise
l'unité en 6 parties égales (opération que la géométrie apprend à effec-
l5o ^ THÉORIE DES NOMBRES
tuer) et l'on prendra l'une de ces parties comme nouvelle unité de longueur. Le point qui représente l'entier a dans ce nouveau système
représente 7- dans l'ancien. On démontrera facilement les propriétés
suivantes :
Si T = T le point r coïncide avec le point -^ •
Si r !> T le point -. est à droite de -j (en supposant que le sens positif
soit de gauche à droite).
Etant donné les points y et n, pour trouver le point r-4- t, on
opère absolument comme dans le problème analogue sur les entiers (I. lU).
Pour trouver le point t X t , on prend l'abcisse de r comme nouvelle unité de longueur, et dans ce nouveau système on prend le point qui représente -..
Enfin pour trouver le point qui représente un nombre irrationnel, on transporte aux points les raisonnements faits sur les nombres. Soit le nombre irrationnel 3,i4i59 .... Nous considérons les valeurs aune unité, un dixième et par défaut etc. par excès. Nous considérons le segment qui va du point 3 au point [\, puis celui qui va du point 3,i au point 3,2, puis celui qui va du point 3,i4 au point 3,i5, etc. Nous obtenons ainsi des segments de plus en petits, chacun d'eux étant contenu dans le précédent et qui nous donnent l'intuition d'un point limite. Ce point ainsi imaginé représente l'irrationnelle 3,i/ii .... Existet-il matériellement? La question n'a pas de sens, car un point, n'ayant pas de dimension, n'est pas une chose matérielle. Ce que l'on peut demander, c'est une construction de ce point limite. Une telle construction est facile à trouver pour les irrationnelles quadratiques. Par exemple pour construire l'abcisse \/m il suffit de construire un triangle rectangle tel que les projections des côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse soient égales à i et à m et de prendre la hauteur de ce triangle.
Représentation géométrique des nombres imaginaires. —
On représente a -+- hi par le point A de coordonnées a, 6 dans un système d'axes rectangulaires. Le point A est dit l'affixe de a -f bi et a -\- hi est dit l'affixe de A. Le module de a + bi est alors égal à OA.
RAPPEL DE THÉORIES d'aNALYSE i5i
Si deux points a -\~ bi, a' + b'i sont représentés par A et A', le point
(a + bi) -+- {a' -h b'i)
est représenté par le sommet autre que O, A, A' du parallélogramme construit sur Ox\A'. Les affixes de a + bi et — (a -h bi) sont symétriques par rapporta 0. Les affixes de deux imaginaires conjugués sont symétriques par rapport à Ox. Ce mode de représentation est d'ailleurs classique et nous n'insisterons pas.
83. Ensembles dénombrables. — On dit qu'un ensemble infini est dénombrable lorsqu'on peut faire correspondre ses éléments d'une façon univoque aux nombres entiers positifs, autrement dit lorsqu'on peut numéroter ses éléments de façon qu'il y en ait un et un seul qui ait le numéro i, un et un seul qui ait le numéro 2, etc.
Théorème I. — Tout ensemble infini de nombres entiers E où chaque entier n ti'est répété qu'un nombre fini de fois v(/i) est dénombrable.
En effet écrivons sur une ligne d'abord le nombre o, v (o) fois, puis le nombre r, v(i) fois, puis le nombre — i, v( — 1) fois, puis le nombre 2, v(2) fois, puis le nombre — 2, v( — 2) fois, etc. 'Il est évident que tout élément de l'ensemble E sera ainsi placé et par conséquent aura un numéro et un seul.
Exemples, — L'ensemble des nombres impairs ; l'ensemble des nombres premiers, etc., sont dénombrables.
Théorème IL — Soit E un ensemble dénombrable. Soit E' un ensemble formé avec des éléments de E chacun n'étant répété qu'un nombre fini de fois. Cet ensemble E' est dénombrable.
E étant dénombrable, rien n'empêche d'appeler ses éléments un, deux, trois, etc. Le théorème n'est donc qu'un cas particulier du précédent.
Théorème III. — Tout ensemble infini de systèmes de k nombres entiers E, où chaque système n,, n^, ... % nest répété qu'un nombre fini de fois est dénombrable.
Nous rangerons ces systèmes de la façon suivante. Si deux systèmes (Hj, Hj, ... nii) et («/, n/, ... n^) sont tels que
I "i 1 + I "2 1 + - -+- 1 "fc I < I "/ I + K I + ••• + I < I
nous placerons le système (ai,, n.^, .,. n^j) avant l'autre.
De plus si nous considérons tous les systèmes pour lesquels
I nj I + I rJ + ... -h I n, I
a une valeur déterminée, ces systèmes sont en nombre fini, et nous les rangerons suivant une loi déterminée, arbitraire. d'ailleurs.
l5a THÉORIE DES NOMBRES
Il est évident que le nombre des systèmes qui précèdent ainsi un système donné est fini, et par conséquent les systèmes se trouvent rangés.
Cas parlicalier. — L'ensemble des nombres rationnels est dénombrable.
Car un nombre rationnel — n'est qu'un système de deux entiers m, n,
satisfaisant d'ailleurs aux conditions : n >» o, m premier à n.
Remarque I. — Le théorème III est encore vrai si n^, n^, ... n^ au lieu d'être des entiers sont des éléments tirés d'un ensemble dénombrable, les autres conditions restant les mêmes.
Remarque II. — On peut encore dire : Un ensemble est dénombrable lorsqu'on peut, étant donnés deux éléments de cet ensemble, décider celui qui sera placé avant Vautre, et cela de façon qu'entre deux éléments déterminés ne soient placés qu'un nombre fini d^autres éléments.
Théorème IV. — L'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable. Si l'ensemble des nombres réels était dénombrable il en serait de même de l'ensemble des nombres réels compris entre o et i. (Th. II). II y aurait donc une suite de tels nombres,
o, a^Y ••• O, a'pY--
(représentés par leurs développements décimaux) qui constitueraient l'ensemble de ces nombres. Or cela est impossible parce qu'il est évident que tout nombre compris entre o et i et dont le premier chiffre n'est pas a, dont le second chiffre n'est pas ^', dont le troisième chiffre n'est pas •{, etc., n'a pas de place dans cette suite.
I. — Les Grecs ne connaissaient que les nombres rationnels et ils avaient d'abord crû que toute longueur était mesurable par un tel nombre quelle que fût l'unité. La découverte du théorème sur le carré de l'hypoténuse ou théorème de Pylhogore leur montra qu'il n'en était pas ainsi. Car, en construisant un carré de côté égal à l'unité, la diagonale de ce carré ne peut être mesurée par un nombre rationnel, puisqu'il faudrait que le carré de ce nombre rationnel fût égal à 2.
C'est cette impossibilité de mesurer certaines longueurs- par des
NOTES ET EXERCICES l53
nombres rationnels qui a donné l'idée du nombre irrationnel , et l'on voit que les premiers nombres irrationnels introduits dans les calculs ont été des nombres quadratiques.
On peut définir le nombre irrationnel de bien des façons. En général on le fait par une coupure dans les nombres rationnels. Le principe de cette méthode se trouve déjà d'une façon très claire dans J. Bertrand, Traité d'Arithmétique, Paris, L. Hachette et G'", 1849. ^ 1* page 2o3 se trouve le passage suivant : « Un nombre incommensurable ne peut se définir qu'en indiquant comment la grandeur qu'il exprime peut se former au moyen de l'unité. Dans ce qui va suivre nous supposons que cette définition consiste à indiquer quels sont les nombres commensurables plus petits ou plus grands que lui. » Cette idée a été retrouvée en i858 par R. Dedekind et développée par lui dans Stetigkeit und irrationale Zahlen (Braunsghweig, Viewig und Sohn, 1872, 4' éd., 1912, conforme à la première). Elle a été répandue en France par J. Tannery, Introduction à la théorie des fonctions d'une variable (Paris, A. Hermann, 1886).
Dans sa Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité (Paris, 1905), R. Baire en définissant la soustraction avant les autres opérations simplifie l'exposition de la théorie.
On peut aussi définir les nombres irrationnels par des suites convergentes. L'énoncé du dernier théorème du n* 67 est alors pris comme définition d'une suite convergente, et toute suite convergente définit un nombre irrationnel. Celte façon de procéder est due à Cauchi. Voir, par exemple, E. Pruvost et D. Piéron, Leçons d'Algèbre (Paris, Paul Dupont, 1898), t. i, chap. VIII.
Mais il faut faire attention que deux suites convergentes différentes Oj, Og, ... a„, ... et fej, b.^, ... &«, ... peuvent définir le même nombre. Cela arrive quand a„ — 6„ tend' vers zéro.
Enfin on peut définir le nombre irrationnel comme nous l'avons fait, par une suite infinie de chiffres décimaux. C'est cette méthode qui nous a paru convenir le mieux à une Théorie des Nombres.
II. — Relativement aux nombres quadratiques, on peut remarquer que la théorie développée au chapitre V ne permettait pas d'opérer sur des nombres appartenant à des corps différents. Cela tient à ce que, comme on le verra plus tard, le résultat d'une opération rationnelle effectuée sur des nombres quadratiques n'est pas en général un nombre quadratique (voir exercice V).
Au contraire avec la définition nouvelle et générale des nombres rien ne s'oppose plus à de tels calculs. En particulier on a /m . \/m' = \/mm' .
l5/i THÉORIE DES NOMBRES
Ce qui montre que les nombres du corps G (y/mm') peuvent se former rationnellement au moyen de ceux des corps G (y/m) et G (y/m'), de sorte que tous les nombres quadratiques, réels ou imaginaires, peuvent se former rationnellement au moyen de ceux des corps G (//)) ou /) est un nombre premier, et du corps G {\/ — i).
III. — Etant donné un nombre positif a on part d'un nombre «j quelconque, et l'on calcule une suite u,, «.,, ... «„, ..., par la formule de récurrence
Démontrer que a„ tend vers \/a .
Gas particulier de la règle de Newton pour le calcul d'une racine d'une équation quelconque. G'est le procédé qu'employaient les Grecs pour calculer une racine carrée. Toutes le» valeurs obtenues ainsi sont par excès sauf peut être la première.
Si l'on appelle £„ l'erreur commise en prenant u„ comme valeur approchée de y/a on a, pour n >► i,
V étant une valeur approchée de \/a par défaut.
Appliquer à a = 2, u, = i. Montrer que «4 = y^l est approché à
moins de
près.
IV. — Démontrer que \/a -^ \/b où a et h représentent deux nombres rationnels non tous les deux carrés parfaits est irrationnel. Il en est de même de \/a — ^b sauf si a = h:
En posant s/ a -\- s/h =z c on trouve
Si c était rationnel \/a et \/b le seraient aussi.
La même démonstration s'applique à y/a — y/6 . En posant
y/a — y/6 = c on trouve de même
\a = ■- et y/6 =
NOTES ET EXERCICES l55
ce qui exige ou bien que a et 6 soient carrés parfaits, ou bien que c = o, alors a = b,
V. — Démontrer que v'a -hv^6 où a et 6 représentent deux nombres rationnels non carrés parfaits ne peut être un nombre quadratique que
si - est un carré parfait. Soit
On trouve facilement ^
\Ja — ^-^ :UL^L ^ p ^ Q ^^
2 (p 4- g /m) P, Q, Pj, Qj étant rationnels. On en déduit
V/Qla - v/Q^ = PQi - P.Q ce qui d'après l'exercice précédent exige que ,
qia = Q^b d'où 1={q'J-
VI. — m etp étant deux entiers premiers entre eux, a et 6 étant deux entiers, on ne peut avoir "\''a = Vb que si a est puissance m^""" parfaite et 6 puissance p^™^ parfaite.
Les exercices précédents prouvent l'existence de nombres qui ne sont ni rationnels ni quadratiques, existence qui n'est pas évidente a priori. On pourrait multiplier les énoncés de ce genre. Us rentrent dans une théorie plus générale qui sera développée plus tard. Voir aussi l'exercice VU.
VI. — Généralisation du développement en fractions décimales.
Soit Oj, Oj, ... a„, ... une suite donnée, quelconque d'entiers positifs. Soit A un nombre tel que
On peut mettre A sous forme d'une série convergente
an étant un entier tel que
l56 THÉORIE DES NOMBRES
On ne peut mettre A sous cette forme que d'une seule manière. Pour A = o tous les a sont nuls. Pour A = i on a
Pour
0, = Qj, = ... = 10 on retrouve le développement décimal.
La valeur de A à moins de — près est -^ ; la valeur de A à moins de
près est -^ H , etc.
Pour que A soit représentable par un développement limité il faut et il suffit que A soit rationnel et que son dénominateur ait un multiple de la forme 0,0^ ... a„. Si les a sont tels que l'on puisse trouver n de façon que 0,03 ... a„ contienne n'importe quel facteur premier à n'importe quel exposant, par exemple si a„ = n, tout nombre rationnel sera reprcsen table par un développement limité.
Mais un nombre rationnel a aussi un développement illimité dans lequel a„ = a„ — i à partir d'une certaine valeur de n. Réciproquement un développement
où o «< a„ <; a„ — I
ne peut avoir une valeur rationnelle que si, à partir d'une certaine valeur de n, on a constamment
a„ =: O ou a„ = an — l.
Application. — Le nombre
est irrationnel.
Viï. — Démontrer que e n'est pas un nombre quadratique. On s'appuie sur la formule, démontrée en Analyse
Si l'on avait
ae* + 6fi -f- c = o
(a, 6, c, entiers), on en déduirait ae -\- - = nombre rationnel, ou
2-7 — r-r + ^ , 7 — — -^, = nombre rationnel. (20) ! ^^ (an H- i) !
Si a H- C et a — c ne sont pas de signes contraires, on est ramené au théorème précédent sur les développements
Si a + c et a — c sont de signes contraires comme on peut changer de signes a, b et c, on peut supposer
a4-c>o et a — c<Co.
Alors on écrit le développement sous la forme :
•^ a -h c — I "v;^ 2/t -h I -f- g 2^ (2n)l ^ 2d (an -h i)
Remarque. — On démontrera plus tard que e n'est racine d'aucune équation algébrique à coefficients entiers, et même un théorème plus général.
