Définition d'un nombre comme racine d'une équation

— Théorème. — Soil une fonction f{x) continue pour toutes les valeurs de X telles que a <^ x <^ b. Soil A un nombre compris entre f(a) et J{b). Il y a au moins une valeur de x comprise entre a et b telle que f{x) = A. Pour la démonstration de ce théorème nous renvoyons aux traités d'Analyse.

Si l'on suppose de plus que J (x) soit constamment croissante ou constamment décroissante pour les valeurs de x, alors il n'y a qu'une valeur de x telle que/fx) = A, et l'on a ainsi défini un nombre racine de l'équation f(x) = A.

Pour le calcul pratique de cette racine nous renvoyons aux traités d'Analyse (méthode des parties proportionnelles, méthode de Newton, etc.).

70. Application à la définition de la racine m*""» d'un nombre. — Extraire la racine m*"»» d'un nombre positif a, c'est trouver un nombre positif x tel que x'" = a. Or la fonction x'" est continue et croissante dans l'intervalle o -h oc. En donnant à x une valeur positive suffisamment petite cette fonction prend une valeur plus petite que a; et en donnant à x une valeur positive suffisamment grande elle prend une valeur plus grande que a, donc il existe une valeur de x et une seule telle que a;'" = a. On la calculera par les méthodes ordinaires de résolution des équations.

En particulier tout nombre rationnel positif m, non carré parfait a une racine carrée /m , et par suite on a défini ainsi des nombres de la forme /J -H 9 V^'n, p, q étant rationnels. Il faut montrer que ces nombres sont identiques à ceux définis au Chapitre V sous le nom de nombres quadratiques réels, et pour cela que leurs propriétés et règles de calcul sont identiques.

Considérons d'abord l'égalité de deux tels nombres. Nous avons à démontrer que pour que deux nombres p + g \/m et p' ~\- q' y//n définis de de la seconde façon soient égaux il faut et il suffit que p = p' et q=q' . Or ces conditions sont évidemment suffisantes et pour montrer qu'elles sont nécessaires il suffit de remarquer que l'égalité

p -\- q \/m =p' -h q' ^m entraîne

p — p' = iq' — q) /'« •

RAPPEL DE THÉORIES d'aNALYSE 1^5

Or y/m est un nombre irrationnel puisque m n'est pas carré parfait. Il en serait de même de son produit par cf — g si 7' — 7 n'était pas nul. L'égalité serait donc impossible dans ce cas. Donc q' = q et par suite p' = p.

Nous laissons au lecteur le soin de compléter la démonstration pour les autres propriétés de ces nombres.