Théorème. On a

Pfc i ^ «A-i -h 1'"* -+- «0

Ua-1 a/,i

Ces relations se vérifient immédiatement pour k = i. Supposons-les vraies pour la valeur k — i de l'indice k et démontronsles pour la valeur k. On a

Pa «aPa-i -h- Pa-2 „ , ï « . .» I ï

rA i r/£i J^A-i «A-i + -t- I «0

Pk-2

Même démonstration pour ^^ .

89. Propriétés particulières aux fractions continuelles dont tous les éléments sont supérieurs ou égaux à i sauf, peut-être, le premier. — Nous supposons ai, 02 ... supérieurs ou égaux à i . Remarquons que c'est le cas des fractions continuelles ordinaires.

I. — Les dénominateurs des réduites sont tous positifs. Le théorème est vérifié pour Qo = i et Q, = ai, il est général comme on le voit par la relation de récurrence Q^. = a/,i Q^^^i H- Q^.

Remarquons que ce théorème suppose seulement a,, az, ... positifs.

II. — Les dénominateurs des réduites vont en croissant avec l'indice, sauf que Qi = Q^ si ai = i.

En eflFet Qo = i et Qi = a^. Donc Qi > Qo sauf si ai = i. Ensuite pour A; > i, Q^^ = a^Q^-i -h Qa 2. Puisque a^ > i et que Qi 2 > G on a Q;, > Q„,.

III. — Si a© !> G les numérateurs des réduites sont tous positifs.

l66 THÉORIE DBS NOMBRES

Si ao = o les numérateurs des réduites sont tous positifs sauf le premier qui est nul. Ces théorèmes supposent seulement ai, 02, ... positifs. On les démontre facilement comme le théorème I.

IV. — Si flo > o les numérateurs des réduites vont en croissant avec Cindice. Si ao = o les numérateurs des réduites vont en croîS' sant avec l'indice sauf que P2 = Pi si a> = i . On démontre ces théorèmes comme le théorème II.

Nous n'examinerons pas les signes ni la croissance des numérateurs lorsque Uo <. o, les résultats seraient plus compliqués et sans intérêt pour ce qui va suivre.

90. Propriétés particulières aux fractions continuelles arithmétiques.

I. — Les réduites sont des fractions irréductibles. En effet dans le cas des fractions continuelles arithmétiques Pk et Qk sont entiers. Ces entiers sont premiers entre eux car d'après la relation (i) tout cominun diviseur de P^ et Q^. divise i .

II. — Soit un nombre rationnel^, on suppose qu'il est irréductible et que son dénominateur soit positif. Dans ces conditions si on

le réduit en fraction continuelle ordinaire et que ^ soit la dernière

réduite on a P„ = a et Q» = 6.

Car on a î-p = r . Les deux membres de cette égalité étant irréductibles et ayant tous les deux des dénominateurs positifs sont identiques et l'on a Pn = a, Qn = b.

91 . Application à la résolution de l'équation diophantienne du premier degré à deux inconnues . — Soit l'équation

ax ■+- by = c.

Nous avons vu (I. iSg, 1^0) qu'il suffit de considérer le cas où a et 6 sont premiers entre eux, et qu'il suffit de trouver une solution particulière de l'équation. De plus nous avons remarqué (I. i4i) que pour avoir cette solution particulière il suffit d'en avoir une de l'équation ax -\- by = i et de la multiplier par c.

Or, réduisons . en fraction continue. La dernière réduite sera

FRACTIONS CONTINUELLES

r puisque a et 6 sont premiers entre eux. Soit - l'avant-dernière, on a

av — 6u := e

£ étant l'un des nombres ± i . D'où

a(£u) + 6( — eu) = I.

Donc sv et — £« est une solution particulière de ax -h by = i. (Comparer avec la méthode de I. 141 • Les calculs sont les mêmes).

A ce propos on remarquera qu'on peut avoir av — 6« = i ou av — bu = — I à volonté. Car on sait (n» 84) qu'on peut faire varier de i le nombre des quotients incomplets de la fraction continuelle en la terminant soit par an, soit par [an — i) -h -. On

peut donc faire que la dernière réduite soit d'indice pair ou d'indice impair à volonté.

Exemple. — Soit à résoudre

laox — li^y

Voici le calcul des quotients incomplets de

lao

Lés réduites successives sont

et Ton a

ÂsT

d'où la solution particulière de l'équation

Xo = — i3 . 20 = — 260 jo = — i3.49 = — 63;

et la solution générale

En remplaçant X par X -f- 5 on a la solution sous forme plus simple

92. Fractions continuelles ordinaires symétriques. — Soit là fraction continuelle ordinaire

dans laquelle les éléments équidistants des extrêmes sont égaux.

Soit Q la dernière réduite, q» l'avant dernière. On a (n° 88)

fc-t-

donc

Alors la relation (i) donne