PQ
(ê = -I- ou — I suivant que le nombre d'éléments de la fraction est pair ou impair).
Donc P divise Q^ -f- s et le rapport — p — est égal à Q'.
De plus P et Q sont positifs (P est positif, parce que le premier élément de la fraction étant égal au dernier est positif). Enfin a
n'étant pas nul on a q > i d'où P > Q. (Sauf le cas où le fraction
continuelle n'aurait qu'un élément qui serait égal à i.)
Réciproquement, soient P eZ Q deux entiers positifs, tels que P
divise Q" -+- s, (e = zt i ) et P > Q. 5« l'on réduit q enjraction
continuelle ordinaire, en s'arrangeant de Jaçon que le nombre des éléments soit pair si î ^= -+■ i , impair si s = — i ien remplaçant
s'il le faut a„ par a„ — ^ + T/» ^^ fraction continuelle obtenue est symétrique. De plus l'avant dernière réduite de cette fraction a pour numérateur Q et pour dénominateur — p — ■' •
FRACTIONS CONTINUELLES 169
En effet, posons p = Q'. Soit
la fraction continuelle ordinaire développement de q •
Puisque? divise Q^ -)- £, P et Q sont premiers entre eux ; donc
la dernière réduite de cette fraction continuelle est q . Soit q^
l'avant dernière. On a
PQ/ p,'Q ==^ = pQ' Q2
P(Qi' - Q') = Q(Pi' - Q)
P divise le premier nombre de cette égalité, donc le second, mais il est premier avec Q, donc il divise Pi' — Q. Mais P/ et Q sont des nombres positifs plus petits que P. Donc | Pi' — Q | < P. Donc, puisque P divise Pi' — Q c'est que Pi' — Q = o. Donc
P.' = Q d'où aussi
Qi' = Q'
Ainsi l'avant-dernière réduite de la fraction est ^.
Mais l'on a (n» 88)
Q' = '"' + aTT=^|-U-
Ce développement doit être identique à^ celui de l'avant-dernière réduite de (2). Donc
ce qui prouve que la fraction continuelle (2) est symétrique.
Remarque. — Si P > 2Q le premier élément n'est pas i, donc
le dernier non plus ; donc, dans ce cas, la fraction continuelle
symétrique est le développement même de ^ tel qu'il se présente
naturellement.
Si P < 2Q le premier élément est i, donc le dernier aussi, donc
la fraction continuelle symétrique est le développement de ^ modifié à la fin.
93. Simplification du calcul d'une fraction continuelle symétrique ('). — Supposons d'abord £ = i, c'est-à-dire que la fraction a un nombre pair d'éléments :
Posons
On a
ou
-+- I «m -h flm -i-
ai
ttm S
Om-l S'
(eu 1 '
p jp R -4- R' R2 ^ R'2
rS + S'
