DÉFINIES

148. — Une forme quadratique binaire est une expression de la forme ax^ -+- bxy -t- cj^ où a, 6, c sont des nombres donnés et X, y, deux indéterminées. Nous désignerons souvent la forme aas* -\- bxy -t- cy^ par la notation (a, 6, c).

a s'appellera le premier coefficient de la forme, h le second et c le troisième.

b^ — 4ac s'appelle le déterminant de la forme, nous le désignerons par A.

l\ac — b^ = — A s'appelle le discriminant, nous le désignerons par D.

Les racines de l'équation ax^ -f- 6a; -i- c = o soient — —

s'appelleront aussi les racines de la forme. Eh appelant Wi et «» ces deux racines, la forme ax^ -H bxy -+- cy^ est identique à a{x — iôiy){x ~ w.y).

Pour le moment nous nous occupons de la théorie algébrique des formes binaires quadratiques. Alors a, b, c sont quelconques.

Théorème. — Le déterminant A {et par suite le discriminant D) est un invariant de la forme ('). (l. 358).

(') On est conduit à ce théorème par les considérations suivantes. La condition A = G exprime que les racines de la forme sont égales. Or cette particularité se conserve par une substitution linéaire. Donc A = o doit entraîner A' = o.

i" Démonstration. — En effet si l'on effectue sur (a, 6, c) la substitution ( \^\ elle devient a', b' , c', et l'on trouve, par un calcul facile,

a' = aa^ -+- ha^ -\- c^*

b' = aaa^ -h 6(ofô -f- ^y) -+- 2070

c' = a'p^ H- fepo -h rb^.

On vérifie facilement que

6'î 4aV = (aS — Py)'(^' — ^«c)

2* Démonstration. — En appelant tOi, 102 les racines de la forme on a

D'autre part, si l'on fait la substitution ( K^ ) sur la forme

a{x — ^iy){x — lùij) elle se transforme en o![x — w/jXa; — w/j). Donc X — 0),)' se transforme en /i(x — ^i'y) X — w^ se transforme en {^{x — wj'j) /i, ^2 étant certains coefficients constants et l'on a

Ceci posé appliquons le théorème sur l'invariance du déterminant des formes linéaires (I. 261) un système des deux formes x — wjj, X — ci)2j, il montre que l'on a

Uk{ixiy' — 0)2') = {m — Py)(wi — 0)2) ou

(wj' — 0)2') = (o(ô — ,SYX*^i — ^^'

Elevant au carré, remplaçant (wi — 102)^ par — et (w^' — w»')^ par

—7 il vient

149. — Du déterminant A on déduit une infinité d'autres inva.riants, à savoir CA™, G et m étant des constantes quelconques. Nous allons démontrer qu'il n'y en a pas d'autres en général, c'est-à-dire si les coefficients a, 6, c sont quelconques (').

(i) On peut dire : car les deux racines w,, wj pouvant, si elles ne sont pa» égales, être transformées par une substitution linéaire en deux nombres quelconques elles ne peuvent avoir d'autre propriété invariante que d être égales.