T 4- ac — ^ — (o, I , o) . J(a, b, c
( — (o, i,o) signifie — — — - — - dans lequel on fait a=^c = oetb=:i\
d'où, en résolvant la première et la troisième équation par rapport à — et -r, puis la seconde et la quatrième par rapport à -y et —
(62 4ac) |- = [& 1^ (o. 1, o) - 2c ^ (o, 1, o)jj(a, 6, c)
(62 — 4ac) 1^ = [^ ^6 (°' ^' ^) ~ ^" ^ ^°' ^' °)]"^(''' ^' ^) (6'- - /iac) ^ = [ 2c ^ (o, I , o) + 6 ^ (o, 1 , o)]j(a, 6. c) (fe2 4ac) ^ = I 6 ^ (o, I, o) — 2a ^^ (o, I, o)Jj(a, 6, c).
Comparant les deux valeurs de (6^ — 4ac) -r qui doivent être identiques on voit que
ôJ , . ôJ , .
— (O, 1 , o) = — (O, I , o) = o da ^ ' do ^ ' ^
et on a alors, en posant la constante -r (o, i, o) = 2m :
ôJ
(6* — 4ac) ~r -4- 4"îcJ(a, b, c) = o (6* — l\ac) —f — 2/n6J(a, 6, c) = o (6^ — Ixac) h limai(ai, b, c) = o
équations qui expriment que les trois dérivées partielles de jrâ 1 — ^
sont nulles.
Donc TTô -, — r- est une constante (^) et comme I ne diffère de J
(6* — liac)"" ^ '
que par un autre facteur constant, le théorème est démontré.
150. — Toule forme quadratique binaire à racines distinctes est équivalente, algébriquement (1. a46), à xy ; toute forme quadratique binaire à racines égales est équivalente algébriquement à x^.
En effet la forme a{x — w,j)(a; — ta^y) où l'on suppose toi ;zf wj se transforme en xy par la substitution réversible
- ttiyX -f- lOiy
La forme a{x — w,j)^ se transforme en x^ par les substitutions réversibles
Xx + |xy
HJ
Wj
où X, fjL sont quelconques, [i pf o.
ôJ
(i) D'ailleurs cette constante est égale à 1, puisque cr (o, i, o) = a
FORMES DÉFI.MES ET FORMES I.NDEFl.MES 278
Il en résulte que deux formes à racines inégales sont équivalentes entre elles.
De même deux formes à racines égales. Une forme à racines distinctes contient toute forme à racine égale mais n'est pas contenue dans elle.
151. Formes définies et formes indéfinies. — Ici il ne s'agît que des formes à coefficients réels. L'identité
ax^ + bxy -h cy^ = a{x -i- — yY — ^ J^
montre que si A <; o la forme prend pour toutes valeurs réelles de X, y une valeur de même signe que a. Elle est dite définie. Elle est dite définie positive si a >» o, définie négative si a -^ o. Si A >• o les racines sont réelles. L'identité
ax^ -h bxy -f- cy^ = (ce — <^iy){x — w^y)
* X montre alors que la forme prend des valeurs du signe de a si - est
extérieur à l'intervalle wj, 102; des valeurs de signe contraire à a si est intérieur à cet intervalle. La forme est dite indéfinie. Elle s'annule si - = Wi ou loj. «
Si A = o la forme est carré parfait. On a dans ce cas
ax^ H- hxy -4- cy^ = a(x -\ yy.
Elle prend pour toutes valeurs réelles de x, y une valeur de même signe que a, sauf pour les systèmes de valeurs
X = bX y = — 2aX X étant arbitraire, pour lesquels elle prend la valeur zéro.
152. Théorie arithmétique des formes quadratiques binaires à coefficients entiers. — A partir de maintenant, sauf avis contraire, les coefficients des formes, les valeurs particulières données aux variables, enfin les coefficients des substitutions seront des nombres entiers. Rappelons quelques définitions déjà données.
On dit que la forme J{x, y) représente l'entier m pour le
Caben. — Théorie des nombres, t, II. 18
système de valeurs x = x^, y = jo des variables lorsque f{xo, Jo) = m (I. 265). La représentation est dite primitive si Xo, jo sont premiers entre eux. On peut se borner à l'étude des représentations primitives (I. 266) (').
La forme (a, 6, c) est dite pr/m/Z/ye quand a, b, c sont premiers dans leur ensemble. En tout cas, un diviseur commun de a, b, c est dit un diviseur de la forme, et le plus grand s'appelle le plus grand diviseur de la forme. L'étude des formes non primitives se ramène à celle des formes primitives (1. 267).
Toute forme /(oic + jSy, yx -+- â'y) (a, /3, 7, â, entiers), est dite contenue arithmêtiquement ou plus simplement, lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté possible, contenue dans/(ic, y). Tous les entiers représentables par/(y.r + ^y, yx -1- ùy) le sont aussi par /(a?, y) (L 268).
Si ad^ — jSy = =t I les formes /(x, y) etf(a.x -h ^y, yx -+• ây) se contiennent l'une l'autre. Elles sont dites équivalentes (L 270). Elles représentent les mêmes entiers et les représentations correspondantes d'un même entier par les deux formes sont en même temps primitives ou non.
L'équivalence des deux formes J[x, y) et f{ocx -+- jSy, yx -+■ ^y) est dite propre quand aâ — /By = H- i , c'est-à-dire quand la
substitution ( ^^) est modulaire. Elle est impropre quand
ac? — /37 = " I .
Deux formes équivalentes proprement sont dites de la miême classe.
Deux formes équivalentes et en particulier deux formes de même classe ont le même déterminant (n" 148). La réciproque n'est pas vraie, c'est-à-dire que le déterminant ne forme pas à lui seul un système complet d'invariants (L 294). Pour le montrer sur un exemple considérons les deux formes (i, o,3) et (2, 2, 2), elles ont le même déterminant égal à — 12, et cependant elles ne sont pas équivalentes, puisque la première peut évidemment représenter des nombres impairs et non la seconde.
{») Dans le premier volume de cet ouvrage (I. 266), nous avons dit à l'exemple de nombreux auteurs « représentation propre n, mais nous adopterons à partir de maintenant la dénomination de » représentation primilive » qui nous' semble bien meilleure.
ORDRBS DE CLASSES 376
