Ordres de classes

Théorème. — Quand une Jorme en contient une autre, le plus grand diviseur de la seconde est un multiple de celui de la première.

Ce théorème a été démontré pour les formes arithmétiques de n'importe quel degré (I. 273). Voici une nouvelle démonstration reposant sur une nouvelle définition du plus grand diviseur d'une forme.

Le plus grand diviseur d'une forme quadratique binaire est le plus grand commun diviseur des entiers représentés par cette Jorme.

D'abord il est évident que le plus grand diviseur de la forme {a, b, c), c'est-à-dire le plus grand commun diviseur de a, 6, c, divise tout entier de la forme ax" -+- bxy -f- cy'.

Ensuite un entier qui divise tous les entiers de la forme €ix^ -+- bxy -h cy^ divise en particulier a, c et a H- 6 -t- c ; donc il divise a, b, c, donc il divise le plus grand commun diviseur 4e ces trois entiers.

Il en résulte le théorème annoncé.

Corollaire. — Deux formes équivalentes ont le même plus grand diviseur.

Ce plus grand diviseur â est donc encore un invariant arithmétique dé la forme. Avec le déterminant A cela fait deux invariants que nous connaissons.

Remarquons que A est divisible par c?'. On peut se demander si A et (? ne formeraient pas un système complet d'invariants, mais cela n'est pas vrai non plus, on peut le voir sur l'exemple suivant. Les formes (1,0, — 10) et (2,0, — 5) sont toutes deux primitives et de déterminant égal à 4o, mais la première ne peut représenter que des entiers congrus à dr i (mod 5), tandis que la seconde ne peut représenter que des entiers congrus à ± 2 (mod 5).

On est ainsi amené à considérer les ordres de classes. Toutes les formes, toutes les classes ayant même déterminant et même plus grand diviseur sont dites appartenir à un même ordre. En particulier les formes ou classes primitives de déterminant A forment l'ordre pWm//// de déterminant A. '