Soit une suite de nombres (4) . Ui, Us, .,., Un
D’après les $ 14 et 15, trois cas sont possibles :
40 [1 y a une limite finie À. Alors M = m = À. Soit au Nous pouvons, d’après le $ 19, prendre « et 8 rationnels tels que a L\<B et B—a<z.
Il va un entier p tel que, pour n>p, ona a L'Un LE. | ee Si 4 et v sont deux entiers supérieurs à p, on a donc (2 Lu à, FR —a se
2 [1 ya une limite infinie; M et m sont égaux, soit à + ï soità —æ; soit, par exemple,
M—'m TC
n>p tel que > À. tre Donnons-nous arbitrairement un nombre rationnel positif prenons un terme quelconque de la suite (1), soit Un Pren un nombre rationnel B=u,; BA estun certain nomb rationnel : nous pouvons trouver v>u telque u, > pe ASE
Des conditions
| ULB<L<B+ALU,, on déduit ($ 21) |
Lu —u,|>(B+A)—B = A.
On remarquera que A est arbitraire et que p et v peur être choisis supérieurs à tout entier 5e :
LG dé: DM LE CR PE à | ee Û ANR he | qe a
| raéonèuEs : SUR LES LIMITES
ns FT 0n aurait une conclusion identique dans le cas de
k "AG ” (T4 À ?
ne
+ ' Va
3° Il n’y à pas de limite. Ona M>>m. Soient «,9 deux
nombres tels que
m La <M.
Cu Res
d’où résulte
ÿ D Quel que soit p, il ya > p et v>p tels que
Un CT, UP, [u, —u,|>B— 0.
Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer les théorèmes
