THÉORÈMES SUR LES LIMITES

Soit e un nombre positif, prenons « et & tels que

Ga a ete et C—a<e.

Quand n surpasse un certain entier p, on a R'EQUNee et A DIET, d’où [us — 0 | <LKP—a<e;

ce étant un nombre positif arbitraire, ceci exprime que |un—%, | a pour limite 0.

2° Pour montrer que la condition est suffisante, je vais montrer qu’elle n’est pas remplie si vw. ne tend pas vers À. Dans cette hypothèse, des deux nombres M et m relatifs à la suite (2), l’un au moins n'est pas égal à À ; l’une au moins des deux hypothèses À<M, > m est vérifiée, sans quoi on aurait m>i>M, etcomme MZ>m, onaurait M = m = 1.

Soit, par exemple, À< M. Soient «, 6 deux nombres tels .que

ÀA<a<$B<M.

Quand nr dépasse une certaine valeur, on a Un Se, et, quel que soit p, pour une certaine valeur de n>p, ona Un > P.

De Un LA LP LU»

résulte [un — 01 > B— a.

Il est donc impossible que [u,—v,|. ait pour limite O. La conclusion est la même dans le cas de À m, ce qui démontre le Théorème II.

25. En considérant le cas particulier où les nombres w, sont tous égaux à un même nombre }, auquel cas la suite (1) a évidemment pour limite À, on arrive à la conclusion suivante :

Théorème [II. — Pour qu'une suite v1, ve, ..., v, ... ait pour limite un nombre X, il faut et il suffit que [v,y —àÀ| ait pour limite O.

>’ F np. f a+ . ” DS CN AL EEE ie ei Bb à THÉORÈMES SUR LES LIMITES 29 26. Théorème IV. — Si l’on a deux suîtes

Cr OU PE PR APRET FER

Aa Se ne Unis state ayant respeclivement pour limites À et hu, uw, —v, a pour limite À—p.

Dans le cas où À—=4y, ce théorème se réduit à la partie 1° du Théorème II. | Considérons le casoù À Zu.

Supposons par exemple Au. Soit « un nombrerationnel positif. On peut déterminer quatre nombres rationnels a, b, c, d tels que

HMON Bi be CE d | avec

Re (2) b—a<e:, d—c<e.

= Quand n dépasse un certain entier p, ona (3) BU ND CD À

On déduit respectivement de (1) et (3) c—b<u— À << d—a, P. c—b<vy—u, <d—a, D d'où | | À Con — un) — (à — à) | << d— a —(e— 5). Comme, d’après (2) (a, b, c, d, : étant rationnels) d—a—(c—b) = d—c+b—a< %, Ne. et que « est un nombre positif rationnel quelconque, on a lim | (0, — un) —(p—Àà)| = 0, c’est-à-dire, d’après le Théorème III, | lim (0, — un) = p —XÀ.

Comme les nombres opposés à v,—u, etu—xX sont Un —Vn et À—wm ($ 20), on a aussi ($16) lim (un — 0,) = À1—p

limlu,—v,| = |1—p|.

DPraN 7 DA Es = MECE* | ï AT, \ ALT Ce , 1 An (Ps L} re * <F y RD 2 ; CR PRET TAN PUS CODE PEER PNR

JÉPRE TETE TE PPANTRE COR ROR RSEAS CLeCe NET EE ES RP EN : Fr FALL ar L +. rs REA EN 137% LL ’ ' a, (AT x} ;

27. Une lettre qui sert à désigner un nombre pouvant recevoir des valeurs distinctes, est dite une variable. Si, à chacune de ces valeurs, correspond, suivant une loi qu’on indique, un autre nombre, on convient de considérer ces derniers nombres comme les différents états’ de grandeur d’une même variable, qui est dite fonction de la première; celle-ci prend le nom de variable indépendante ou encore d’arqument de la fonction. C’est ainsi. que, dans les suites (1) (Sections Il et VE), le nombre «, estune fonction de n définie pour toutes les valeurs entières positives de n. Citons, comme exemples de fonctions définies pour toutes les valeurs réelles de la variable x : la partie entière de x (valeur approchée de x à une unité près, par défaut); le nombre (—x); la valeur absolue de x: |æx]|; le nombre x luimême.

De même, si on considère un système de deux ou plusieurs variables, et si, à chaque système de valeurs attribuées à ces variables, correspond un nouveau nombre, on regarde ces derniers nombres comme les états de grandeur d’une fonction des premières variables : celles-ci sont alors les variables indépendantes. Par exemple, on apprend, en arithmétique et en algèbre élémentaire, à faire correspondre à un système de deux nombres rationnels a et b des nombres qu’on désigne par a<+b, a—b, ab, Chacun de ces nombres est une fonction des variables a et b; les trois premières sont définies pour tous les systèmes de valeurs rationnelles des variables ; la dernière est définie pour tous ces systèmes, sauf ceux pour lesquels b = 0. Autre exemple : le nombre x—77, défini dans la Section V, est une fonction des variables x et y définie pour tous les DUT de valeurs réelles attribuées à ces variables.

gen af Pe Je AL AT ré ra til SAP N OR PEU MER, , + » 1% 14 ‘ LR -* F ’ | ee à . A Le

NOTIONS DE FONCTION ET DE CONTINUITÉ 31 a 28. Si a et sont deux nombres tels que a <b, on or appelle :

“ 1° intervalle (a, b), l’ensemble des nombres x tels que a x LD; 2° intervalle (—,a), l’ensemble des nombres x tels que —D<T LA;

3° intervalle (a, +), l’ensemble des nombres x tels que ALT + D ;

&° intervalle (— œ, +), l’ensemble de tous les nombres réels.

Le premier de ces intervalles est dit borné; les autres ne le sont pas. Un nombre x est intérieur à un intervalle s’il y a des nombres +’, x”, appartenant à l’intervalleet tels que x <x< x". à Dans chacun des quatre cas considérés, tout nombre x appar- Fr tenant à l'intervalle défini est intérieur à cet intervalle, sauf

a et b dans le cas 1°, a dans les cas 2 et 3°. Si une suite de nombres ,, Lay ... En, ... tend vers un nombre x, intérieur

à un intervalle donné, x, est, pour les valeurs de n qui sur-

passent un certain entier, intérieur à cet intervalle.

Étant données deux ou plusieurs variables x,7y,... et des intervalles de variation correspondant à ces variables, on appelle champ l’ensemble des systèmes de valeurs x,,y,, ..…. attribuées aux variables x, y, ... et telles que chacune de ces valeurs appartient à l’intervalle de variation correspondant. Le champ est borné si tous ces intervalles sont bornés; il est alors défini par des conditions de la forme

a< x <a, DO SION EI U, a, a’, b,b', ... désignant des nombres finis. [l y a aussi des champs non bornés, tels que a KT + 00, b<y<Ÿ'.

L'ensemble de tous les systèmes de valeurs attribuées aux

variables x, y, ... est le champ D <E<+H, — D <Y<L+H OX, ;

Pour abréger, nous dirons qu'un système de valeurs attribuées

aux variables x,y,. . est un point; le point est rationnel si toutes ces valeurs sont rationnelles. |

Ce His s4 6 dE au \s AR ARR EN PPT SC Tue EL ET mé à hs ;

Un point (x,, y, ...) est dit intérieur à un champ si chacun

des nombres x,,%,, ... est intérieur à l'intervalle correspondant.

On dit que la suite de points (æi, Yrs ...), (ms, Yo, :..), ts naiss Ca inour limiterle pointe EiEtes

tend vers ce point) si l’on a limæ = x,, lim y»: = Yo :

29. Supposons qu’une fonction f{æ, y, ...) d’une, de deux … ou de plusieurs variables soit définie en tous les points d’un certain champ C (le champ se réduisant, dans le cas d’une seule variable, à un intervalle): on dit que f(x, y, ...) est définie dans le champ C.

On dit que f(x, y, ...) est continue au point (x, Yo; ...)

du champ G si, pour toute suite de points de C: (æas Yis . ..)s (Los Vas DANSE ES ns Us te) STE dantivers (NUE EERE on à

lim 1 Uns +. ) Fu [(Tos Yos . . dE Si cette condition est remplie pour tous les points (to, Yos .. .). de G, on dit que f est continue dans C.

30. Les fonctions de la variable x suivantes : (— x), [x|, qui sont définies dans le champ — œ<zx<+c, sont continues dans ce champ, car, d’après le $ 16, la condition

ina entraine lim (— 2») = — %, im'irl= {rh

Au contraire, la partie entière de x n’est pas continue car, en | prenant par exemple x, = 1 — Es (L= 4,2, 9, 50020)

z = 1, ona limzr, =, mais la partie entière de »,, qui est 0, quel que soit n, ne tend pas vers la partie entière de x, quiest 1.

La fonction x—7y des deux variables x et y est continue dans le champ — œ <x <+ @œ, — œ<y<+o, car, d’après le Théorème IV, $ 26, les conditions lim æ = *, lim y, = yo entrainent lim (2, —y,) — x, — y.

FONCTIONS D'ARGUMENTS RATIONNELS

94. Considérons plus spécialement les fonctions définies pour Pie systèmes de valeurs rationnelles “attribuées aux variables: nous les appellerons fonctions d’arquments rationnels.

Une fonction d'arguments rationnels f(x, y, ...) supposée … définie en tous les points rationnels d’un Aa C est dite définie daus ce champ. Elle est dite uniformément continue dans C si, à tout nombre positif «, correspond un nombre | positif 4 « tel que, pour deux points rationnels (x, y, ...), (x,yl, ...) du champ C satisfaisant aux conditions

nus) a Le

se Il est évident que cette condition est remplie pour toute valeur positive de e si elle est remplie pour toute valeur positive hionnelle attribuée à =.

10 32. Les fonctions d'arguments rationnels æ+y, æx—7y ui sont uniformément continues dans le champ

— DLL +H D, — DL Y LH D.

Eu effet, pour satisfaire aux conditions (2) qui s’écrivent ici TER )1<e, L@—y)—(a/—y)|<e,

étant un nombre rationnel positif, il suffit de satisfaire aux

+ LA. ce \

34 FONCTIONS D'ARGUMENTS RATIONNELS

suivantes :

RUE AS CARD lr—x|< [y YI<S

On prendra donc «a =

33. La fonction d'arguments rationnels x y, qui est définie en tout point rationnel, est uniformément continue dans tout. champ borné. Soit le champ borné C ne

a L<x< da’, b<Yy< b’, a, a’, b,b/, étant des nombres finis. Prenons un nombre posi rationnel À supérieur à toutes les valeurs absolues dés nombr: a, a’, b, b'; on aura, pour tout point du champ CG, (4) fa] SAME TPE |

Il s’agit de satisfaire, e étant positif et rationnel, à la co

dition | res (2) Lay —2y| <e, qui peut s'écrire | [@— æ)y + (y —ya'|<e.

Cette condition sera vérifiée si l’on vérifie les suivantes :

€ . € eat 1y=vlrl< que nous remplacerons, en tenant compte de (1), par

€ NC € [sr —# TA <> pau TEE

On satisfait donc à (2) en prenant « = el

” | lequel y 20. Si donc on considère le champ bonéG | a<œ<a', b<y<b', War

pour que x soit définie dans ce champ, il faut et il suffit

bet + soient deux Done différents de 0 et de même se #4

Le condition étant supposée remplie, je dis que = est

aniformément continue dans le champ (OR

. Prenons un nombre positif rationnel A supérieur aux valeurs absohes de a, a!, b, b', etun nombre positif rationnel p inférieur aux valeurs absolues de b et L'; on aura, pour tout point an si 6: |

au 4 s’agit de satisfaire à es

y — (y — y}el [yl. |]

x — x'|A ue?

HUE) £ | I question sera donc résolue en prenant