INTRODUCTION

laquelle je fais une place à part, parce qu’elle joue dans toute la théorie un rôle prédominant, comme une simple réflexion le montre : la notion de différence est en effet la forme précise de la notion vague de rapprochement, de voisinage, qui domine nécessairement toute étude où il s’agit du continu ; or, le rôle des nombres irrationnelsest précisément de servir à construire le continu,en comblant les lacunes que présente l’ensemble des nombres rationnels. L'ordre classique des quatre règles : addition, sous- 1 traction, multiplication, division, qui est le seul logique

en arithmétique, ne s'impose plus lorsqu'il s'agit des

nombres irrationnels. Au contraire, en me bornant,

comme Je le fais, à définir la différence (V), J'ai tout ce. qu’il faut pour établir le célèbre théorème de Cauchy (condition nécessaire et suffisante pour qu’une suite ait une limite) ; à l’aide de ce théorème et de quelquesautres analogues (VI), j'établis, sous le nom de principe d’extension (IX), une proposition générale d’où résultent comme

cas particuliers les définitions de la somme, du produit, du quotient de deux nombres [ainsi que, un peu plus loin (XIH), la définition de a‘]. Ces notions se trouvent |

ainsi définies en bloc, et, ce qui est plus important encore, la justification des règles de calcul algébrique se fait également en bloc (X), au lieu d’exiger un raison-

nement spécial pour chaque règle.

D'ailleurs, la notion de différence elle-même n’estpas indispensable pour définir la notion générale de limite. C'est là un fait masqué par l'habitude invétérée d'écrire: x—e, x+e, Jà où il suffit de dire : tout nombre inférieur, tout nombre supérieur à x. Cette remarque n'a pas à

PAT Je A INTRODUCTION Lv

& seulement, à à mon avis, un simple intérêt de curiosité :

certains raisonnements sur les limites me paraissent plus ca faciles à saisir en adoptant la forme de définition que je Re donne au $ 42, basée simplement sur la notion d'ensemble

15 Dans Je même ordre d'idées, je crois avantageux de \ définir les bornes supérieure et inférieure d’un ensemble, “4 immédiatement après avoir défini les nombres irration- 4 nels. Cette manière de faire permet de substituer tout de … suite et définitivement à la notion de coupure la notion

| Nplus générale et plus maniable de borne d’un ensemble:

Fe on remarquera que, après la Section Il, il n'est plus fait

ete

aucun usage de la notion de coupure sous sa forme primi- Sra:

tive.

J'estime enfin qu'il n'y a pas intérêt à ajourner la défi- nition d’un mot, lorsqu'on se sert déjà depuis longtemps de la chose que ce mot représente: c’est pourquoi j'intro- duis le plus tôt possible les notions de fonction et de con- tinuité (VII). La notion de fonction est déjà impliquée dans la notion d'opération, et rien n’oblige de considérer . les fonctions d’une seule variable comme plus simples que les fonctions de plusieurs variables; c'est plutôt le contraire qui est vrai, car la première fonction que chacun a vue, c’est la somme de deux nombres entiers.

En définitive, je me suis efforcé d'ordonner les diffé- | rentes matières que je traite de manière à éviter les redites el à n’utiliser aulant que possible, comme propo- | sitions intermédiaires, que des théorèmes ayant leur

pre marquée en mathématiques.

Je me suis placé au point de vue de l'Analyse pure;