PARIS

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nons n>0 telque P,—2n>0; soit (41,y1, ...) un point de C tel que |

LAN PA NE A Rte Considérons les quatre champs

2 iG fae—n)<B—n : y -pI<B—n .:., OS ne ni EU US Pme Dares (4) CG r—am|<8—2n, y —yi| KB, — 2, LEE G) GIr—m[<$+2n [y —y] <f + 20,

On voit que (4) et (4) entraînent (2), que (1) et (3) entrai-

nent (5); donc G estcontenu dans G, C; contient C'; donc

Poscillation dans C, est << comme dans C, et l’oscillation

dans GC, est =e comme dans C. Cela montre que la valeur 2 de $ au point (x, y:, ...) est comprise entre B,—2n et B+2n, sous les conditions (1); n étant arbitraire, & est

continue; donc & a une borne inférieure y qui, étant atteinte

en un Certain point, est positive. Pour tout point (x,, y,, ...)

duchamp C, les conditions

DONNE mn) y, 0 | Y—Y] Lys Le.

* entrainent (7) AG y 2.) — fra Vos.) Ke

En résumé, étant donné e > 0, il y a un nombre positif y tel que, (x, y, ...) et (xo, Yo, ...) étant deux points quelcon-

ques de C vérifiant les conditions (6), il en résulte (7). Ce fait, démontré pour lecas de :,<w, a lieu a fortiori pour toute

valeur positive de : ; il a lieu évidemment pour le cas, écarté précédemment, d’une fonction constante. On exprime la pro-

priété obtenue en disant que loute fonction f(x, y, ...) continue

dans un champ borné est uniformément continue dans ce champ.

47. Une fonction f(x) d’une variable x, définie, soit pour toutes les valeurs d’un intervalle, soit seulement pour certaines de ces valeurs, est dite croissante si, x! et x" étant deux nombres pour lesquels elle est définie, la condition

(1) a'< x entraine (2) fe) < fe); elle est décroissante si (1) entraîne (3) HD EST:

Il est évident que si / est croissante, —/f est décroissante ; à

toute propriété des fonctions croissantes correspond une propriété des fonctions décroissantes.

Les fonctions a+x, ax<zx (celle-ci dans le cas de a >0) sont croissantes dans l'intervalle (—@, +) en vertu du calcul des inégalités étendu. De même, les fonctions —x, ax (dans le cas de a<0) sont décroissantes dans le

CPAS er même intervalle. La fonction —, dans l'intervalle (4, +), TX \

u étant positif, est décroissante.

Soit f une fonction d’un argument rationnel définie pourtous …

les points rationnels d'un intervalle [ (borné ou non), croissante, et uniformément continue dans tout intervalle borné contenu dans [. On sait que le principe d’extension s'applique à f et donne une fonction F définie et continue dans l’intervalle I.

Je dis que F est croissante comme f. En effet, soient z'etzx"

deux valeurs quelconques de l'intervalle, et soit x'< x". On

peut trouver des nombres rationnels x, 2%, ..., Zn .. BÉ0i,. débris doc tels QUOI ait

ES me