On établit de même les propositions suivantes

Étant donné un ensemble de nombres E, ou bien il y a dans : E des nombres inférieurs à tout nombre réel, l’ensemble est dit alors t{limité inférieurement ; ou bien il y a des nombres inférieurs à tous les nombres de E, qui est alors dit borné inférieurement. Dans ce second cas, il existe un nombre m qui est dit la borne inférieure de E, et qui est caractérisé par la double

propriété suivante : 2 1° Tout nombre de E est supérieur ou égal à m ;

2° Si À est un nombre supérieur à m, il y a dans E un nombre inférieur à À.

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Si E contient un nombre plus petit que tous les autres, m est égal à ce nombre.

Si E; est un ensemble contenu dans E, la borne inférieure

de E, est au moins égale à la borne inférieure de E.

Si tous les nombres de E sont supérieurs ou égaux à un nombre A, il en est de même de la borne inférieure de E.

Quand un ensemble est borné à la fois supérieurement etinférieurement, on dit qu'il est borné.

41. Au lieu de dire qu’un ensemble est illimité supérieurement, nous conviendrons de dire qu’il a pour borne supérieure -@æ; et de même nous dirons qu’un ensemble a pour borne inférieure —, s’il est illimité inférieurement. Tout se passe alors comme si, à l’ensemble R des nombres réels (que nous appellerons nombres finis), on adjoignait deux éléments : l’un, +, supérieur par définition à tout nombre réel ; l’autre, —, inférieur à tout nombre réel. Nous dési-

gnerons par R' l’ensemble R augmenté des éléments +0,

—œ, qui seront dits nombres in/inis et seront considérés comme opposés l’un à l’autre ; d’après les conventions faites, R' est ordonné. Nous considérerons quelquefois des ensembles pouvant comprendre des éléments quelconques de R’. On peut dire à ce sujet qu’un ensemble d'éléments appartenant à K' a toujours une borne supérieure et une borne inférieure, qui sont

des éléments de R'. Le mot nombre, employé seul, signifiera un

.uombre fini.