Nous considérerons des suites infinies de nombres telles

que (4) Mi Ua) TT URSS

On dit qu'une telle suite a pour limite le nombre X (ou encore que u, tend vers À quand n croît indéfiniment) si, quels que soient les nombres X et }" satisfaisant aux conditions

O Ms Van il y a un entier p tel que, pour n>p, on a (3) ) UP PQ

Nous donnerons quelquefois une portée plus grande à la notion de limite, en supposant que À peut être un élément quelconque de R’ ($ 11): ainsi, À peut être égal à <+c (auquel cas il n’y a pas lieu de considérer de nombre À”), ou à — (auquel cas il n’y à pas de nombre \).

Nous dirons que la première définition correspond au sens ordinaire du mot limite, et que la deuxième définition corres-

pond au sens étendu. Le mot limite, employé seul, sera entendu

dans le sens ordinaire.

43. Suites non décroissantes. — Considérons le cas particulier où la suite (1) est non décroissante, c’est-à-dire où l’on a

U LU K KUn K°°

Soit À la borne supérieure de l’ensemble des nombres de la

suite. Je dis que la suitea pour'limite À (sens étendu). En effet, si >>}, les u sont tous inférieurs à \'; si N<£AÀ, l’en-

fie Ÿ ’ h 5 A a 7 NEA: #" 4 } M 2 : hé 1 , 1 SM 1 DO LA ee | Pre dt 4 I ELA Ne HF STE DS EU APR nu A 4 ÿ “ 4 CR NS à LS Tv. : ds NL nn et LA , ’ PA \ A CHASERURES : | l le es LIMITE D UNE SUITE DE NOMBRES J ‘à

semble des w, contient au moins un nombre supérieur à X,

tous les nombres de la suite qui suivent celui-là ont la même propriété; donc la condition (3) est vérifiée quand n dépasse

| Nine certaine valeur.

Si les uw, sont tous inférieurs à un certain nombre À, on

peut affirmer que la limite À est un nombre fini, au plus égal

à À; dans le cas contraire, À est égalà oo.

ES La rez À

Le

ns # Suites non croissantes. — De la même manière, on reconnait qu’une suite non croissante, soit | "a

MD UD UD à

pre pour limite sa borne inférieure À; si les w, sont tous supéde rieurs à un certain nombre, À est fini ; dans jé cas contraire, À est égal à — oo. à

Fu (1) U;, Us, CELLES) VAE ...

Désignons par M, et m, les bornes supérieure et inférieure de l’ensemble des nombres

EPL Re PS FARTCE PURES | | !

M, ?7M>--ZMZ.… à PEL PCR À Pt RU

. Tous les nombres M, et m, appartiennent à R'; soient M la

nombres m,. Re Jedisqu'ona MZ>m. Car si on avait M<m, il y aurait unnombre À telque M<A1<m; pour certainesvaleurs de n, onaurait M,<2<m, d'où M,<m,, ce qui est | povabl.

M est dit la plus grande limite de la suite (1), m sa plus petite Rue Le nombre M a les propriétés suivantes :

LE de, Lg GR ER

ar RE |

1° Si a>M, les nombres de (1) sont tous, à partir d'un certain rang, inférieurs à a;

2% Si a<M, il y a, quel quesoit », unentier n>p tel que uw, > a.

Cette double propriété ne peut appartenir qu’à un seul nombre ; elle caractérise donc le nombre M. De même, m possède la double propriété caractéristique suivante :

1° Si a<Zm, les nombres de (1) sont tous, à partir d’un certain rang, supérieurs à a ;

2Si a>m, il ya, quel quesoit p, unentier n>p tel que .u, < a.

45. Dans le cas où la suite (1) a une limite (sens étendu), soit . À, jedisqu'ona M—m—1. Eneffet, si À’ et }’ sonttels que N<A<, quand x surpasse une certaine valeur p, ona

NE ere NE d’où V< M, SM, <<}, et aussi XV << m<M < }”.

On voit que M et m sont au moins égaux à tout nombre W, par suite aussi à la borne supérieure À de ces nombres ; de même ils sont au plus égaux à la borne inférieure À des nombres }”. Donc M=m=\. f

Réciproquement, supposons M—m. Posons M—m —A. Soit A<T1=m, ÀZ>A—=M. Quand n dépasse un certain entier », on a

M, <X, Mn > À, et, par suite, À Un LX”,

ce qui montre que la suite (4) a pour limite À,

” jp x

ET la condition nécessaire et suffisante pour que la suite @ ait une limite (sens étendu) est qu'on ait M—m, et cette valeur est alors la limite.

rite

ve y A . . . . . . .

“ On reconnaît ainsi que la limite, si elle existe, est unique.

| La condition nécessaire el suffisante pour que la suile (À) ait " une limite (finie) est que les nombres M et m soient éqaux à un + même HUE fini.

Uni pour limiter, ni suite l'E > —Uns ... à pour limile (—X). (Car, # soient aetB telsque a<—À<8B; ona($ 8) —P<LA<—0; donc, quand n dépasse une certaine valeur p, on a de | LISE d’où résulte a<—u,<5; cela exprime que (—u,) tend vers (—)).

Dans les mêmes por la suite |[w|, Pal PILE

Ado Si À —0, soit <>0; quand n surpasse un certain

ca entier p, ona RAT EaeN dou 0 lus | ee

20 Si À>0, quand n surpasse un certain entier p, on a u,>0, et par suite le nombre [u,|—"u, tend vers

E Si A0, Ro n surpasse un Certain entier p, on a u<0, et par suite le nombre [u,j=—u, tend vers

BAIRE. — NOMBRES IRRATIONNELS

VALEURS RERO REUS D "UN S NOMRE