Théorème IL — Si Von a deux suites

\1) î/i, Mj, • • •> ^UJ • • • 9

(2) Ul, Viy . . . , U„, . . . ,

dont la première a pour limite un nombre X, la condition nécessaire et suffisante pour que la seconde ait aussi pour limite À est que \ un — u„ | ait pour limite 0.

i^ La condition est nécessaire. Supposons que la suite (2) ait pour limite \ comme la suite (1).

Soit t un nombre positif, prenons a et ^ tels que

a<X<p et P — a<Ê.

Quand n surpasse un certain entier p^ on a

a<M„<P et «<Wn<P,

t étant un nombre positif arbitraire, ceci exprime que \Un — Vn\ a pour limite 0.

2<> Pour montrer que la condition est suffisante, je vais montrer qu'elle n'est pas remplie si v„ ne tend pas vers X. Dans cette hypothèse, des deux nombres M et m relatifs à la suite (â), l'un au moins n'est pas égal à À ; Tune au moins des deux hypothèses X < M, X > m est vérifiée, sans quoi on aurait tn>X>M, et comme M>m, on aurait M = m = X.

Soit, par exemple, X < M. Soient a, p deux nombres tels que

Quand n dépasse une certaine valeur, on a

Un < a,

et, quel que soit p, pour une certaine valeur de n>p^ on a

De Mn < a < P < Vn

résulte

lUn — Vnl > P — a.

Il est donc impossible que | w« — v„ | ait pour limite 0. La conclusion est la même dans le cas de X > m, ce qui démontre le Théorème II.

25. En considérant le cas particulier où les nombres tin sont tous égaux à un même nombre X, auquel cas la suite (i) a évidemment pour limite X, on arrive à la conclusion suivante :

Théorème III. — Pour qu'une suite Ui, t72, ...,!;„» ... ûif pour limite un nombre X, il faut et il suffit que \vn — X | ait pour limite 0.