Soit une suite de nombres

D'après les 1 14 et 15, trois cas sont possibles :

i° Il V a une limite finie X. Alors M = m = X. Soit e>0. Nous pouvons, d'après le 1 19, prendre a et ? rationnels tels

que

a<X<p et p— a<c.

Il y a un entier p tel que, pour n > p, on a

a<Wn<?'.

Si fJL et V sont deux entiers supérieurs à p, on a donc (§ 21)

2M1 y a une limite infinie; M et m sont égaux, soit à -H oo , soit à — 00 ; soit, par exemple,

Quel que soit l'entier p, et quel que soit le nombre A, il y a n';>p tel que w„>A.

Donnons-nous arbitrairement un nombre rationnel positif A,

prenons un terme quelconque de la suite (I), soit %. Prenons

un nombre rationnel B > u^ ; B -h A est un certain nombre

rationnel ; nous pouvons trouver v > fx tel que m^ > B h- A .

Des conditions

on déduit (§ 21)

|w^-Wv|>(B-hA)^B = A.

On remarquera que A est arbitraire et que {x et v peuvent être choisis supérieurs à tout entier p.

On aurait une conclusion identique dans le cas de

3** Il n'y a pas de limite. On a M >• m. Soient a, ^ deux

nombres tels que

Quel que soit p, il y a ja > p et v > p tels que

d'où résulte

I M^ — Wv I > P — a.

Nous sommes maintenant en mesure d'énoncer les théorèmes suivants :

23. Théorème I. — La condition nécessaire et suffisante pour que la suite [i)ait une limite {finie) est que, à tout nombre positif Ê corresponde un entier p tel que les conditions \L^p^ v>p, entraînent \u^ — tt^ I < £•

1° La condition est nécessaire, parce que, d'après l'étude du cas 1° (§ 22), elle est remplie si la suite a une limite finie.

2<» La condition est suffisante, car elle n'est pas remplie dans les cas 2** et 3', puisqu'il y a alors un nombre positif (A dans le cas 2**, p — a dans le cas 3°) auquel certaines différences \u^ — livl sont au moins égales, \l et v pouvant être choisis supérieurs à tout entier p.