Si a et b sont deux nombres tels que a<6, on appelle
1° intervalle (a, è), l'ensemble des nombres x tels que
2o intervalle ( — « , a), l'ensemble des nombres x tels que
— oo<a? <a ;
S'* intervalle (a, -f-oo), Tensemble des nombres x tels que
a< a?<-4-oo;
4® intervalle (— », -hoo ), l'ensemble de tous les nombres réels.
Le premier de ces intervalles est dit borné; les autres ne le sont pas. Un nombre x est intérieur à un intervalle s'il y a des nombres x', x'\ appartenant à l'intervalle et tels que xf <,x< x". Dans chacun des quatre cas considérés, tout nombre x appartenant à l'intervalle défini est intérieur à cet intervalle , sauf a et b dans le cas 1**, a dans les cas 2** et 3°. Si une suite de nombres a?!, a?2, . . . , a7„, . . . tend vers un nombre Xq intérieur à un intervalle donné, ar„ est, pour les valeurs de n qui surpassent un certain entier, intérieur à cet intervalle.
Étant données deux ou plusieurs variables a?, y, . . . et des intervalles de variation correspondant à ces variables, on appelle champ l'ensemble des systèmes de valeurs a?o, y^, ... attribuées aux variables a?, t/, . . . et telles que chacune de ces valeurs appartient à l'intervalle de variation correspondant. Le champ est borné si tous ces intervalles sont bornés; il est alors défini par des conditions de la forme
a, a', 6, 6', . . . désignant des nombres finis. Il y a aussi des champs non bornés, tels que
L'ensemble de tous les systèmes de valeurs attribuées 'aux variables a?, y, ... est le champ
— oo<a:<4-oo, — oo<î/<-|-od, ....
Pour abréger, nous dirons qu'un système de valeurs attribuées aux variables a?, y, . . est un point; le point est rationnel si toutes ces valeurs sont rationnelles.
Un point (ar^, t/o» • • •) ®st dit intérieur à un champ si chacun des nombres Xq, t/©» • • • ^st intérieur à Tintervalle correspondant.
On dit que la suite de points (xi, i/i, . . .)» (^s» !/2' •••)' . • .5 (^nj î/n,. • • )• • • • « powr Zimt/e le point (ar^, j/^, . . .) {ou tend vers ce point) si l'on a lim Xn = x^, lim t/„ = j/q, ...
29. Supposons qu'une fonction /\ar, y, ...) d'une, de deux ou de plusieurs variables soit définie en tous les points d'un certain champ C (le champ se réduisant, dans le cas d'une seule variable, à un intervalle): on dit que f{x, y, ...) est définie dans le champ C.
On dit que f{x^ t/, ...) est continue au point (x©, t/o» • • •) du champ C *i, pour toute suite de points de C: (xi, j/i, . . .),
(xa, j/2> ...)»•••> (^«> 2/n, ...)i ••• tendant vers {xo, yo, . . .)» on a
lim /*(xn, i/„, . . .) = /"(^o, !/o, . . .)• Si cette condition est remplie pour tous les points (xo, j/o> . • . ) de G, on dit que f est continue dans C.
30. Les fonctions de la variable X suivantes : ( — x), jxj, qui sont définies dans le champ — 00 < x <-4-oo, sont continues dans ce champ, car, d'après le § 16, la condition
lim x„ = Xo entraine
lim (-^ Xn) = — aJo, lim |x„| = |xo|.
Au contraire, la partie entière de x n'est pas continue car, en
prenant par exemple Xn = 1 9 (n = 1, ï, 3, . • .) et
Xo == 1, on a lim x„ = Joj mais la partie entière de x„,
qui est 0, quel que soit n, ne tend pas vers la partie entière
de Xo qui est 1 .
La fonction x — y des deux variables x et y est continue
dans le champ — oo<x<4-oo, — oo<2/<-hoo, car,
d'après le Théorème IV, § 26, les conditions lim Xn = Xo,
lim yn = t/o entraînent lim (x„ — ?/„) = Xq — yo.
FONCTIONS D*ARGUMEMS UATIONNELS 33
