FONCTIONS D'ARGUMENTS RATIONNELS

31. Considérons plus spécialement les fonctions définies pour des systèmes de valeurs rationnelles attribuées aux variables: nous les appellerons fonctions d'arguments rationnels.

Une fonction d'arguments rationnels /(a?, j/, ...) supposée définie en tous les points rationnels d'un champ C est dite définie dans ce champ. Elle est dite uniformément continue dans G si, à tout nombre positif s, correspond un nombre positif a tel que, pour deux points rationnels (a?, y, ...), (x', y' y . . .) du champ C satisfaisant aux conditions

(1) \X'-X'\<CL, |y-y'|<a,

on a

Il est évident que cette condition est remplie pour toute valeur positive de e si elle est remplie pour toute valeur positive rationnelle attribuée à e.

32. Les fonctions d'arguments rationnels aj-t-y, x — y sont uniformément continues dans le champ

— 00<J7<-4-oo, — ^ <y < -H'oo.

En effet, pour satisfaire aux conditions (2) qui s'écrivent ici

\{x-\^y) — {x'-hy')\<e, |(a:-t/)-(x'T/)|<e,

e étant Un nombre rationnel positif, il suffit de satisfaire aux

34 FONCTIONS d'aKGDMBNTS RATIONNELS

suivantes :

\ic—^'\<Y \y-y'\<'^'

On prendra donc a = -s- •

33. La fonction d arguments rationnels art/, qui est définie en tout point rationnel, est uniformément continue dans tout champ borné. Soit le champ borné C

a, a', 6, b\ étant des nombres finis. Prenons un nombre positif rationnel A supérieur à toutes les valeurs absolues des nombres a, a\ 6, b'\ on aura, pour tout point du champ C,

Il s'agit de satisfaire, e étant positif et rationnel, à la condition

(2) \xy--afy'\<t, qui peut s'écrire

Cette condition sera vérifiée si Ton vérifie les suivantes :

que nous remplacerons, en tenant compte de (1), par \x-x'\k<^. \y^y'\k<:L.

On satisfait donc à (2) en prenant a = — -•