SOMMAIRE

1. Définition des nombres irrationnels. — II. Bornes supérieure et inférieure dun ensemble, — III. Limite dune suite de nombres. — IV. Valeurs approchées d'un nombre. — V. Différence de deux nombres. — VI. Théorèmes sur les limites. — VII. Notions de fonction et de continuité. — VIII. Fonctions d'arguments rationnels. — IX. Principe d'extension. — X. Extension du calcul algébrique. — XI. Théorèmes sur les fonctions continues. — XII. Fonctions inverses. — XIII. Définition des

fonctions V^> ût""» ^''^, log x.

1. Rappelons les propriétés suivantes de l'ensemble des nombres rationnels :

i^ De deux nombres rationnels différents, l'un est plus petit que l'autre; si a, ô, c sont trois nombres rationnels tels que a <i by b <C c, on a a <] c Ces faits s'expriment en disant que l'ensemble des nombres rationnels est ordonné.

i® a étant rationnel, il y a une infinité de nombres rationnels inférieurs à a, et aucun d'eux n'est supérieur à tous les autres ; il y a une infinité de nombres rationnels supérieurs à a,

et aucun d'eux n'est inférieur à tous les autres ; si a et ô sont rationnels et si a < 6, il y a une infinité de nombres rationnels c tels que a <^c <^b.

2. On dit qu'on effectue une coupure dans l'ensemble des nombres rationnels si Ton partage cet ensemble en deux classes telles que tout nombre de la première est inférieur à tout nombre de la seconde. Il ne peut se présenter alors que l'un des trois cas suivants:

!• Dans la première classe existe un nombre supérieur à tous les autres. Soit a ce nombre : tout nombre de la première classe est ^ a. Tout nombre de la seconde est > a,, puisque a est de la première.

Un nombre rationnel < a ne peut faire partie de la seconde classe, sans quoi il serait > a ; donc il fait partie de la première.

Ainsi, la première classe est Tensemble des nombres rationnels < a ; par suite, la seconde est l'ensemble des nombres rationnels > a : elle ne contient pas de nombre inférieur à tous les autres.

2o L'hypothèse du cas l** n'est pas réalisée, c'est-à-dire qu'il n'y a pas dans la première classe de nombre supérieur à tous les autres ; mais on suppose qu'il existe dans la seconde un nombre a inférieur à tous les autres. On reconnaît que la première classe est l'ensemble des nombres rationnels < a, la seconde est l'ensemble des nombres rationnels > a.

Les cas 1° et 2° sont évidemment réalisables.

3® Aucune des hypothèses 1° et 2** n'est réalisée. C'est donc que la première classe ne renferme pas de nombre supérieur à tous les autres, et que la seconde ne renferme pas de nombre inférieur à tous les autres.