Montrons qu'on peut réaliser le cas
On sait qu'il n'exisle aucun nombre rationnel x tel que x^ = 2, et que, étant donné un nombre positif rationnel e, il est possible de trouver deux nombres positifs rationnels x' et x" tels que a?'^ < 2 < x"^
DÉFlNlTIOiN DES N031BKES IRRATIONNELS 11
avec 2 — ar'« < e, ar''^ — 2 < e.
Rangeons dans une première classe À les nombres négatifs, nul, et les nombres positifs a* pour lesquels x^ << 2, dans une seconde classe B les nombres positifs x pour lesquels a?' > 2. On a effectué ainsi une coupure, car tout nombre rationnel fait partie de Tune des deux classes, et tout nombre de  est inférieur à tout nombre de B.
11 n'y a pas dans A de nombre supérieur à tous les autres, c'est-à-dire que si x appartient à A, on peui trouver dans k un nombre x' '^ x. Il suffit évidemment d'examiner le cas oii X est positif. On a o?^ < 2; prenons e rationnel et positif tel que e <; 2 — a?2 ; on peut trouver x' > tel que x'^ < 2 avec ^ — x'^<e. On aura 2 — ar"^ < e < 2 — a:^ d'où ar'* > x^y X > x^ et x' appartient à A.
De même, il n'y a pas dans B de nombre inférieur à tous les autres, car si x appartient à B, on a a?^ > 2 ; soit e rationnel tel que <; e < a:' — 2 ; on peut trouver a?' tel que a?'2 > 2 avec a'* — 2 < e, d'où a?'« — 2 < ar^ — 2, d'où x' < X, et x' appartient à B.
On peut réaliser le cas 3^ de telle sorte que, a et 6 étant deux nombres rationnels donnés (a < h)^ a fasse partie delà première classe et b delà seconde. Remarquons que, dans l'exemple précédent, fait partie de A, 2 fait partie de B. Cela posé, rangeons dans une classe A' les nombres rationnels x tels que
—7 fait partije de A, dans une classe B' les nombres ra-
tionnels x tels que -~ ^ fait partie de B. Comme il y a
équivalence entre les conditions
2(ar— a)^ ^x' — a)
x<x' et -7 < — ^T '-7
on voit que tout nombre de A' est inférieur à tout nombre de B'^ qu'il n'y a pas dans A' de nombre supérieur à tous les autres, ni dans B' de nombre inférieur à tous les autres; de , plus. A' contient a, B' contient b.
4. Quand une coupure remplit les conditions du cas 3^, on convient de dire qu'elle définit un nombre irrationnel X, qui est, par définition, supérieur à tous les nombres de la première classe, inférieur à tous les nombres de la seconde.
Nous dirons que Tensemble des nombres rationnels et irra* tionnels constitue l'ensemble des nombres réels ou, simplement, des nombres.
En résumé, une coupure étant effectuée dans Tensemble des nombres rationnels, il y a un nombre réel auquel tout nombre de la première classe est inférieur ou égal, et auquel tout nombre de la seconde classe est supérieur ou égal. Nous dirons que ce nombre est défini par la coupure considérée.
5. D'après la définition du nombre irrationnel X, on reconnaît que, si a et 6 désignent deux nombres rationnels :
Les conditions a < X, X < ^ entraînent a <b;
Les conditions a<ih^ 6 < X entraînent a < X ;
Les conditions X < a, a < A entraînent X < ô.
Si a < X, il y a des nombres rationnels c (en nombre infini) tels que a < c < X.
Si a > X, il y a des nombres rationnels c (en nombre infini) tels que X<c<a.
6. Soient deux nombres irrationnels XetV; soient A, B les première et seconde classes correspondant à X, A' et B' les première et seconde classes correspondant à V. Il y a trois cas possibles :
1° A et A' sont identiques; il en résulte que B et B' sont aussi identiques. Les nombres X et X' sont définis parla mèmecoupure; nous dirons qu'ils sont égaux : V = X.
â'' Il y a dans A' un nombre a qui n'est pas contenu dans A. Ce nombre appartient à B et n'appartient pas à B'. Tout nombre de A est inférieur à a, qui appartient à B, et comme a, appartenant à A', est inférieur à tout nombre de B', il en résulte que tout nombre de A est inférieur à tout nombre de B'. Par suite, A et B' n'ont aucun élément commun; tous les nombres de A,
font partie de A', tous les nombres de B' font partie de B. Un nombre rationnel x ne peut se comporter, par rapport à X et X', que de trois manières :
