Quand x et y sont rationnels, on a

Etendons ce résultat au cas où ar et y sont quelconques. 1** Supf>osons y rationnel, x étant quelconque; formons une suite de nombres rationnels Xi, arg, . ..^ x^ ... tendant vers x.

On a lim a^» = a^

et par suite, d'après le | 53 {y étant rationnel),

lim {a^-)v = (a^)î'.

D^autre part, on a-, Xn et y étant rationnels,

donc

(a^)î/ = lim (a^njî' = lim a^»i' = aiîm^-'î' = a^.

i* Supposons ar et y quelconques ; soit une suite de nombres rationnels i/i, t/2, • . . , y», ... tendant vers y* On a, d'après la continuité de la fonction exponentielle,

lim (a^)^» = {a^y.

D'après le cas 1**, on a

Donc

^ (a*)î' = lim (a-^)'^ = lim a^^'» = a ^I^^'î^» = a^^

L'égalité (1) est donc vraie dans tous les cas.

58 DÉFINITION DES FONCTIONS Vj:, a^ a?v, log X

55. La fonction a*{a > et 7^ 1) étant définie dans Tintervalle (—00, -f- 00), et étant, soit croissante, soit décroissante, a une fonction inverse bien définie. On la désigne par logaor (logarithme de x dans le système de base a), Âinsi,il y a équivalence entre

a* = X, X = logaX.

Des propriétés fondamentales de l'exponentielle

résultent les propriétés fondamentales des logarithmes :

logaXY=logaXH-logaY,

10gaXJ'= t/lOgaX.

La fonction logarithmique logaX es l définie pour les valeurs positives de X, continue dans tout intervalle qui ne contient pas 0. Si a > i, elle est croissante, tend vers — 00 quand X tend vers 0, vers -h 00 en même temps que X. Si a < 1, elle est décroissante, tend vers 4- 00 quand X tend vers 0, vers — op quand X tend vers h- 00.

56. La fonction x^ des variables xeiy est définie lorsqu'on a â? > 0, y étant quelconque.

Je dis que c'est une fonction continue ; en effet, soit a un nombre quelconque > et ^z^ 1 ; soit x' = logaO?.

On a xy = {a^^jy = a'^'v.

Si deux suites a?i, .T2, . . . , ar^», ... et yi, t/g, . . ., y„, ... tendent respectivement vers x et y (les ar„ et x étant positifs), on a, en posant a/, = loga ir„,

lim Xn = a/, lim x'^y^ = x'y,

xv = a'^'y = ai^^'-î'» = lim a^'r^y- = lim (a^'»)^'» = lima-^«.

L'égalité xy = lim xj» montre la continuité de la fonction xy.

DÉFINITION DES FONCTIONS /V^?, a"", X^^ lOgO? 59

En particulier, si t/, supposé fixe, est égal à un nombre irrationnel a, on reconnaît la continuité de la fonction de x : x^ (x étant positif).

La fonction u^y si u et v sont des fonctions de variables x, y y . . ,y est, dans un champ où u est positif, une fonction de (ar, y, . . .) ; si M et u sont fonctions continues de (ar, j/, . . .), il en est de même de t^^.