I.e nombre — (qui est défini si x ^ 0) est dit Vinverse

de X.

37. De la définition de F résulte la propriété suivante : Si un point (xo, yo» • . .) ^st intérieur à un champ G, et si les valeurs de f{x, y, ...) aux points rationnels de C sont comprises entre des nombres M, m, le nombre F(a:o, yo> ...)est aussi compris entre M etw.

En particulier, on déduit de là que, si x et y sont positifs,

X -^ y, xy, — sont aussi positifs, car, en prenant des nombres rationnels a, a\ b, h', tels que

les fonctions d'arguments rationnels a? -f- y, a?y, — » dans le

champ C :

PRINCIPE d'extension 41

ont des valeurs au moins égales respectivement aux nombres positifs

a-^by axb, -77;

il en est donc de même des fonctions de variables quei-

conques ar h- y, art/, — considérées dans le même champ ;

elles ont donc des valeurs positives. On voit aussi que, x étant

positif, — est positif.

38. Si une fonction est continue dans tout champ où elle se trouve définie, nous dirons simplement, pour abréger, qu'elle est continue.

Soient x, y, ... des variables, /*, ©, ... des fonctions de ces variables, chacune des fonctions /, ©, ... pouvant être fonction, soit de toutes les variables a:, y, . . . , soit seulement de certaines d'entre elles. Les variables ^ <p, ... peuvent être les arguments d'une nouvelle fonction F(/*, ç, . . .), qu'on peut alors considérer comme une fonction <ï>(ar, y, . . .) des premières variables ar, j/, . • . , par Tintermédiaire des fonctions ^ <p, ... ; on dit que c'est une fonction composée de x, t/, . . . ou, dans le cas d'une seule variable x et d'une seule fonction intermédiaire /*, une fonction de fonction. C'est ainsi que, ar, y, z étant trois variables prenant toutes les valeurs réelles, ar -h (y -h 2)9 a? X (y -h 2) sont des fonctions de x, y, z, par l'intermédiaire de a? et y -h z. On a, à ce sujet, le théorème suivant :

Si /*, 9, ... sont fonctions continues de x, y^ ... et si F est fonction continue des variables /*, cp, ..., la fonction 4>(a?, y, ...) == F(/*, <p, ...) est fonction continue dex^ y, ...

Soit, en effet, une suite de points

tendant vers un point (xq, yo, ...). On suppose que F se trouve définie en chacun de ces points, ce qui suppose que/*, «p, ...

42 PRINCIPE d'extension

sont définies en tous ces points, et que, en posant, pour n= 1, 2, ... et n =

F est définie pour tous les points (^, (p„, . . .). Puisque /, ç, ... sont continues, on a

lim fn = ^, lira <pn = <po, ...»

et F étant continue en tant que fonction de /*, «p, ..., ou a

lim F(/*n, <p„, ...) = F(/o, foj .••) ;

ce qui s'écrit

La proposition est donc démontrée. 39. Si une égalité de la forme

où /* et (p sont des fonctions continues des variables a:, y, ..., est démontrée quand le* point (a?, j/, . . .) est rationnel, elle a lieu également pour tout point appartenant à un champ dans lequel / et <p sont définies. En eff'et, soit ( Xq, j/o, . • •) un tel point; il y a une suite de points rationnels (a?t, y a ..•)> (a?2, 1/2, ...), ..., (xn, i/n, • • •)> ••• tcudaut vcrs (xo, t/o^ ...) et en chacun desquels f et ^ sont définies. On a, pour n = 1, 2, . . .,

d'où

lim /*(x„, î/n, . . = 'ina ?(^»5 !/n, • • •)>

c'est-à-dire, à cause de la continuité de f et cp,

40. Montrons que les règles de calcul algébrique qui sont établies en Algèbre élémentaire dans le cas où les variables reçoivent des valeurs rationnelles s'appliquent au cas où ces variables sont quelconques.

Toutescellesde ces règles qui sont relatives à la transformation des égalités au moyen des quatre opérations élémentaires résultent d'un certain nombre de principes qu'on peut exprimer par les formules suivantes, où x, i/, z désignent des nombres rationnels :

(1) a? -4- j/ = 2/ -4- ar,

(3) ar + = X,

(4) a: — a: = 0, (8) — a? = — ar,

(6) a?-+-(— y) = ar — y,

(7) • a?x(-y) = -(a?xy),

(8) (-^)X(-y)=a?Xî/,

(9) a?xO = 0,

(10) a:Xi = ar,

(11) xXy = yxx,

(12) (xXy)xz=xx(yxz),

(13). {x + y)xz = {xxz) + {yxz),

(15) xx^ = ^. (y 7^0).

Toutes les fonctions qui figurent dans l'un ou l'autre membre de l'une de ces égalités sont des fonctions continues de ar, t/, z [en vertu, pour ce qui concerne les égalités (2), (6), (7), (8), (12), (13), (15), du I 38] ; donc, d'après le § 39, ces

équations sont valables pour toutes les valeurs, rationnelles ou non» des variables. Ainsi se trouve étendu tout le calcul algébrique relatif aux transformations d'égalités par addition, soustraction» multiplication et division.

41. Pour étendre aux nombres quelconques les deux règles fondamentales du calcul des inégalités (addition d'un même nombre aux deux membres, multiplication par un même nombre positif), rappelons que, d'après la défmition des nombres opposés, il y a équivalence entre les conditions x > et — a? < 0, et que, d'après la définition de la diflférence, il y a équivalence entre les conditions a?>t/ et x — y >0.

Cela étant, quels que soient ar, y, z, de a: > y on déduit a? — y > 0, ce qui, d'après le calcul des égalités étendu, peut s'écrire (a? ■+■ z) — (y -H z) > 0, d'où a? -h 2 > y + z ; donc cette dernière inégalité résulte de j? > y.

On a vu (1 37) que, de x> Oy y > 0, résulte xy > 0.

Cela posé, si l'on a a? > y, et z > 0, on peut écrire successivement X — y > 0, z(x — y) > 0, zx — zy > 0, zx'^zy; on peut donc déduire cette dernière de x ^y.

En résumé, tout le calcul algébrique relatif aux transformations d'égalités et d'inégalités par addition^ soustraction^ multiplication et division s'applique aux nombres quelconques.

42. Par combinaison des quatre opérations fondamentales effectuées sur des variables a?, y,..., on obtient des fonctions qui sont les fonctions rationnelles de {x^y, ...); 'elles comprennent comme cas particulier les polynômes^ obtenus en n'effectuant que les trois premières opérations.

D'après le principe du | 38, une fonction rationnelle des variables (ar, y, ...) est Continue; si u, u, ...sontdes fonctions continues de (j?, y, ...), une fonction rationnelle de u, v, ... est fonction continue de x^y, ..., dans tout champ où elle se trouve définie ; comme cas particuliers de cetXe proposition, la somme^ lé produit de plusieurs fonctions continues^ le quotient de deux fonctions continues sont des fonctions continues.

43. Transformons la déiinition de la continuité donnée au I 39. Soit f(x,yt ...) une fonction des variables ar, y, ..., définie dans un champ G, et qu'on suppose continue au point (oto, t/o? •• •)• Soit a un nombre positif; considérons le champ r :

On reconnaît que si (xq, t/oi-.) est intérieur au champ C, le champ r, quand a est suffisamment petit, est entièrement contenu dans G ; cela n'a pas lieu quand (aro, 2/ov) n'est pas intérieur à G, mais les champs G et r ont toujours un certain champ commun, il sera entendu, dans la suite, que Ton désigne par champ r Tensemble des points contenus dans G et satisfaisant à (i).

Les valeurs de /'aux points du champ r forment un ensemble de nombres qui a des bornes supérieure et inférieure M» et mç, ; si on remplace a par un nombre inférieur a', le nouveau champ r' obtenu est contenu dans r; donc on a, pour les nombres M^', wia', qui remplacent M» et m»,

Ma > Ma', Wa < m^..

Soit maintenant une suite décroissante de nombres positifs tendant vers 0: aj, a^, ...,«„, ... Appelons M„ et win les bornes supérieure et inférieure de / dans le champ Vn défini par les conditions (l), où Ton remplace a par «„. On a

(2) M, >M2> >Mn> ,

m 1 <^ Wls <$ • • • <^ THn ^ • • • •

Ces deux suites ont des limites que je désigne respectivement par M et m.

Comme chacun des nombres M„ est au moins égal à A^o> 2/oj ••.)> 0" 21 ^> fi^o9 !/o» ...). Je dis qu'on ne peut avoir M> /Kxo, t/o, .••)• Si cela était, en prenant X tel que M > X > f{Xf^, yo, ...), on aurait M„ > X ; on pourrait trouver dans le champ Ti un point (a?i, yi, ...) tel que A^i» y»» •••)>^ l ^^^^ ^«» ^^ point (a?s, ya, ...) tel que fi^tiVii •••) > \ ••• > et généralement, dans le champ r„, un point (ar„, t/n? ...) tel que /*(ar„, j/n? ...) > X. La suite des points (xi, j/i, . .)» (^2, 2/a, ...)» •••> (a?n, 2/n5 ...)» ••• tend vers (a^o> yo> -O? puisque a„ tend vers et que \ Xn — a?o | < «n, I !/»~~!/o I "^ "n5 •••• I^oï^c /(aTn, î/„, ...) doit tendre vers •/î^o» !/o> •..)> c® <l"î ^t contradictoire avec le fait que tous les nombres f{xn9 j/n, ...) surpassent X > f{xo^ yo> •••)•

Donc f(xQy t^o, ..•) = M; de même f(xo^ j/©» •••) = ^'

Les suites (2) ont pour limite commune f(xoy t/o» • • •)• ^^ ^^ résulte que, étant donné e > 0, on peut déterminer n de manière que M„ et Wn diffèrent de /^(ar^, j/o» . . .) de moins de e, et par suite a de manière que, en tout point {x, y, ...) du champ (1), on ait

(3) fixo, t/o, ...) — e</*(a?, !/,,..)< /"(a^o^î/o» ...)-^e.

Réciproquement, si on suppose qu'à tout nombre positif e correspond a > tel que, dans le champ (1), on a la condition (3), f(Xt y, . . .) est continue au point (a?oi yo» . •)• ^^9 soit une suite de points

(P^i9 yi> • • • j> v*^25 !/2» • • • Vi • • • » v«^n» yn> ...},...

tendant vers (£i?o, yo, . . .) ^ quand n dépasse une certaine valeur p, le point (a?n, yn, . • •) est contenu dans le champ (i), donc la condition (3) est vérifiée en remplaçant (a?, y, ...) par (i^niVrif ...); ceci montre que f(xny yny .,.) a pour limite

A^09 yoi ••)• Ainsî^ la définition de la continuité au point (xo, î/o> . . • ) peut être remplacée par la suivante :

La fonction f[x^ y, . . .) est continue au point (a?o, j/o» • . .) **> â tout nombre positif e correspond un nombre positif a tel que les conditions

\x—Xo\<:a, I2/ — !/o|<a,

entraînent

I f{x, y, . . .)— A^o, yo, . . .) I < e.

44. Si une fonction d'une seule variable f(x)y continue dans l'intervalle borné (a, 6), prend pour a et 6 deux valeurs différentes, et si X est un nombre compris entre ces valeurs, il y a au moins un nombre Xq de l'intervalle pour lequel /(a?o) = X.

On a a < b; soit, par exemple, /*(«) < f{b), et soit X

tel que

D'après la continuité de /*(a?), il y a certainement un nombre a' > a tel que, dans (a, a'), f{x) est toujours < X, et un nombre b^ <b tel que, dans (6', 6), /"(ar) est toujours > X. Considérons les nombres c compris entre a et b et tels que, dans Tintervalle

f(x) est constamment <;X. L'ensemble de ces nombres comprend a', ne comprend pas les nombres supérieurs à 6'; la borne supérieure Xq de cet ensemble est donc telle qu'on a

a <i Xo <ib.

D'après la définition de a?o, pour tout nombre x intérieur à (a, Xo), on a f{x) < X, tandis que, quel que soit a > 0, l'intervalle (a, a?o -H a) contient des points où f(x) > X. Donc l'intervalle (a?o — «, Xo-h «) contient des points où f{x) < X et d'autres où f{x) > X ; donc les bornes supérieure et inférieure de f dans cet intervalle comprennent

entre elles X, et comme elles tendent toutes deux vers f{xQ) quand a prend une suite de valeurs tendant vers 0, il en résulte que /*(xo) = X.

On exprime ce fait en disant qu'une fonction continue d'une variable ne peut passer d'une valeur à une autre qu^en passant par toutes les valeurs intermédiaires.

45. Une fonction d'une ou plusieurs variables, continue dans un champ borné, est bornée et atteint, en certains points du champ^ chacune de ses bornes supérieure et inférieure.

Je démontrerai d'abord la proposition préliminaire suivante :

Soit f{Xy y 9 . . .) une fonction quelconque définie en tous les points d'un champ borné C ; soit M la borne supérieure (finie ou non) des valeurs de f aux points de C. Je dis qu'il y a un point (xo, j/o» . . .) ^® C tel que, quel que soit e > 0, dans le champ

la borne supérieure de /* est M.

Soit C le champ borné à p variables

Partageons C en 2p champs partiels, chacun d'eux s'obtenant en remplaçant dans (1) l'intervalle de variation (a^a')^ soit par

(rt, — 5 — ^» soit par ( — 5 — > a' V et opérant de même

pour chacune des variables y, . . . La borne supérieure de f est égale à M dans Tun au moins de ces champs, car la borne dans C est égale à la plus grande des bornes dans les divers champs partiels. Soit C^ un champ partiel dans lequel f a pour borne supérieure M ; désignons Ci comme il suit :

(2) Oi < 07 < aj, ^1 < y < ^1,

On a a <^ tti^a'i ^ a\

ttj — tti = — s — ?

^i — Oi = — 3— >

En opérant sur Ci comme on a opéré sur C, et répétant indéfiniment l'opération, on obtient des champs Ci, C2, ...,Cn,.** en chacun desquels / a M pour borne supérieure. Si an^ a'n^ bn9 b'nj ..• correspondent à Cn comme a, a\ b, b\ ... k C, on a

a ^ fli ^ ^2 ^ ... '^ a» "^ ...

a' J> ai > ai > ... ^ aj, > ...

b <^ bi "^ bz^ . . . ^ 6„ ^ ...

avec

CLn — CLn ^=

h'n-hn^

Les nombres a„, a'^ ont donc une limite commune x^, les nombres bn^ bn une limite commune t/o» etc; . .

Le point (a?o, yo>. • •) est tel que, quel que soit e > 0, le champ

(3) aro-e< a?< aro-+-e, !/o — « ^ !/ ^ !/o -H e,

contient, quand n est assez grand, le champ C„

an*^ X ^ a'n^

dans lequel la borne supérieure de /* est M. Donc f a pour borne supérieure M dans (3), quel que soit e > 0.

Appliquons cette proposition au cas où /*(a?, y,..) est continue dans le champ C.

Comme, dans le champ

la borne supérieure de f est M, quel que soit e, il en résulte, d'après la continuité de f (| 43), que

Cela montre en premier lieu que M est un nombre fini, c'està-dire que f est bornée supérieurement, et en second lieu que f atteint la valeur M en un point au moins. De même, on montrera que f est bornée inférieurement et atteint sa borne inférieure en un point au moins. .

46. Étant donné un ensemble E de nombres, ayant pour bornes supérieure et inférieure M et w, le nombre positif ou nui Cl) = M — m est dit V oscillation de E. En particulier, Toscillation de l'ensemble des valeurs que prend une fonction f aux points d'un champ C oii elle est définie est dite l'oscillation de f dans ce champ; si G est contenu dans C, l'oscillation de f dans C est < à Poscillation dans C.

Soit f{x^ t/, ..,) une fonction continue dans un champ borné C. En écartant le cas où / aurait la même valeur en tous les points de C (fonction constante), l'oscillation de f dans C est un nombre positif b>. Considérons un nombre positif & inférieur à o). Soit (a?o, yo» ••••) ^^ point du champ. Si on considère, « étant positif, le champ r

en vertu de la continuité, l'oscillation de / dans r tend vers quand a tend vers 0; donc elle est <e pour des valeurs assez petites de a ; d'autre part, quand a est assez grand, r contient G, par suite l'oscillation dans r surpasse e. Soit ^ la borne supérieure des nombres a tels que l'oscillation de f dans r est < e : p est un nombre fini et positif, bien déterminé pour chaque point (a?o, y^» . • •) du champ. Donc p est une fonction <p(a?, y, . . .) définie dans le champ C; je dis que c'est une fonction continue de (a?, y, . . . ). En effet, soit Po la valeur de p au point {x^^y^y ...)\ pre-

nons ï) > tel que Po — 27) > ; soit (oTi, yi, . . . ) un point de C tel que .

(1) |a?i — Xo|<Ti, |j/| — !/ol<^> Considérons les quatre champs

(2) C |a?-Xo|<Po-^, lî/-!/ol<Po-^,

(3) C |^-aîo|<Po-+-^o \y-Vo\<^ + r^. ...,

(4) G. |x-a?,K?o-2Ti, |y-t/,|<p,-.2r,, ...,

On voit que (i) et (4) entraînent (2), que (1) et (3) entraînent (5); donc Gi est contenu dans G, C[ contient G'; donc Toscillation dans Gi est < e comme dans G, et l'oscillation dans C[ est >e comme dans G'. Gela montre que la valeur pi de p au point (ari, t/i, . . .) est comprise entre p^ — 2ti et Po-f-2Y), sous les conditions (1); tq étant arbitraire, p est continue; donc p a une borne inférieure y qui, étant atteinte en un certain point, est positive. Pour tout point (x^y i/o, . . .) du champ G, les conditions

(6) la: — a?o|<Y> lî/ — î/o|<ï, entraînent

En résumé, étant donné e > 0,. il y a un nombre positif y tel que, (a?, y, . . .) et (xo, y 09 • . .) étant deux points quelconques de G vérifiant les conditions (6), il en résulte (7). Ge fait, démontré pour le cas de e < w, a lieu a fortiori pour toute valeur positive de e ; il a lieu évidemment pour le cas, écarté précédemment, d'une fonction constante. On exprime la propriété obtenue en disant que toute fonction f{x, y, . . .) continue dans un champ borné est uniformément continue dans ce champ.

47. Une fonction f{x) d'une variable ar, définie, soit pour toutes les valeurs d'un intervalle, soit seulement pour certaines de ces valeurs, est dite croissante si, x' et x" étant deux nombres pour lesquels elle est définie, la condition

entraine

elle est décroissante si (1) entraine

Il est évident que si /' est croissante, — f est décroissante ; à toute propriété des fonctions croissantes correspond une propriété des fonctions décroissantes.

Les fonctions a-^-x^ axx (celle-ci dans le cas de a > 0) sont croissantes dans l'intervalle (— oo, h-oo) en vertu du calcul des inégalités étendu. De même, les fonctions — x, aXx (dans le cas de a < 0) sont décroissantes dans le

môme intervalle. La fonction — , dans l'intervalle (a, -+- oo ),

a étant positif, est décroissante.

Soit f une fonction d'un argument rationnel définie pour tous les points rationnels d'un intervalle I (borné ou non), croissante, et uniformément continue dans tout intervalle borné contenu dans L On sait que le principe d'extension s'applique k f et donne une fonction F définie et continue dans l'intervalle L Je dis que F est croissante comme f. En effet, soient x' et x^ deux valeurs quelconques de l'intervalle, et soit a?'<<a?". On peut trouver des, nombres rationnels x\y jTj, ..., a?'„, .., et x% rtj, . . . , a?n, . . . tels qu'on ait

lim Xn = x', lim a?n = x".

On aura

F(^') = lim /-(a?;) < f{x\) < AO < liin/*«) = F(a?^),

c'est-à-dire

F(x') < FCa?").

De même, le principe d'extension, appliqué à une fonction d'argument rationnel décroissante et uniformément continue dans tout intervalle borné, donne une fonction continue décroissante.

48. Soit / une fonction continue croissante dans un intervalle borné (a, b) ; soient A, B les bornes inférieure et supérieure de f. La fonction doit atteindre la valeur A en un point de l'intervalle, qui ne peut être que a ; ainsi f(a) = A ; de même f(b) = B. La fonction étant croissante prend, pour deux valeurs distinctes de la variable, deux valeurs différentes; d'après le | 44, elle passe au moins une fois par toute valeur intermédiaire entre A et B ; donc si X est tel que A < X < B, il y a une valeur et une seule de x pour laquelle f prend la valeur X.

Ces résultats s'appliquent, avec quelques modifications, si l'intervalle de variation de x est non borné. Soit, par exemple, une fonction croissante dans l'intervalle {a, h- oc); la borne inférieure A est atteinte pour a; tout nombre X tel que A ^ X < B est atteint; la borne supérieure B, qui peut être, soit finie, soit égale à +00, n'est pas atteinte ; mais si X prend une suite de valeurs tendant vers h- 00 (sens étendu de la notion de limite), f{x) tend vers B. Par exemple, les fonctions croissantes a-^-x, axx (sia> 0), tendent vers -f- 00 en même temps que x ; la fonction décroissante

— tend vers quand x tend vers -h 00.

Si l'intervalle de variation est ( — 00, h- oc), aucune des deux bornes n'est atteinte.

BAIRE. — NOMBRES IRRATIONNELS 4

49. Dans tous les cas, qu'il s'agisse d'un intervalle borné ou non, désignons par e l'ensemble des valeurs que prend a?, par E Fenserable des valeurs que prend f{x) supposée continue et croissante : à toute valeur a: de e correspond une valeur X de E; et réciproquement, sion se donne un nombre X de E, il y a un et un seul nombre a? de e tel que f{x) = X ; donc ce nombre x peut être considéré comme une fonction de X que je désigne par «p(X). E constitue un intervalle, avec cette réserve que l'une des bornes de cet intervalle, même si elle est finie, peut ne pas faire partie de E.

©(X) est croissante, car il y a équivalence entre les conditions x'<x" et f(x')<f{x"), c'est-à-dire, si /Ta/) = X', f(a/') = X", entre

Je dis que <p est continue, c'est-à-dire que si Xo, Xi, X2, . . . , Xn, ... sont des nombres de E tels que lim X„ = Xq, on a lim «p(Xn) = ?(Xo). Nous posons Xq = ?(Xo), a?„ = ©(X»). Supposons d'abord que Xq ne soit pas une borne de l'ensemble e, et prenons deux nombre^ x' et x" de e tels que

X ^«^ Xq ^^ X •

Ces conditions entraînent, en posant X' = f{x')y X''=zf(x")y

X' < Xo < X'.

Quand n dépasse une certaine valeur p, on a

X' < X„ < X ', d'où résulte

Cela exprime que Xn tend vers Xq ; donc cp(Xn) tend vers «?(Xo).

Si Xo est, par exemple, la borne supérieure de l'ensemble e, il suffit de remarquer que Ton a alors Xn < x^ et de conserver seulement, dans les doubles inégalités précédentes, la première inégalité. »

Il est donc établi que 7 est continue. La fonction <p(X) est dite la fonction inverse de f{x).

De même, si f{x) est une fonction continue décroissante, en posant X = /(a?), x = cp(X), on reconnaît que cp(X) est une fonction continue décroissante.

DÉFINITION DÈS FONCTIONS 'Vx, Cf, X", logX 55

OÉnNITION DES FONCTIONS "l/x, a", x», logx.

60. La foDCtion X = a?*", m étant un entier positif, considérée dans l'intervalle (0, -f-oo), est continue et croissante (d'après le calcul des inégalités étendu) ; elle est égale à pour a? = 0, et tend vers -h oo quand x tend vers -+- oo. On désigne la fonction inverse de X = ar"* par la notation

c'est la racine m« arithmétique du nombre positif X. On voit que c'est une fonction continue et croissante de X dans l'intervalle (0, -h oo) ; elle est égale à pour X = 0, et tend vers +» en même temps que X.

Si u est une fonction des variables a?, y^ ..., continue et non négative dans un champ^ Vt^ est définie dans ce champ et est continue, d'après le principe du § 38.

51. D'après la théorie des radicaux arithmétiques et des exposants fractionnaires, nul et négatifs, on sait, en supposant défini 'Va (a > 0), comment on définit a*, x étant un nombre rationnel quelconque ; a"^ est ainsi une fonction d'argument rationnel, définie dans l'intervalle (— oo, -h oo) ; on démontre qu'elle a les propriétés suivantes :

3** a" tend vers 1 si a? prend une suite de valeurs rationnelles tendant vers ;

4* Si a > 1 , a* est croissante ; si a < 1, a* est décroissante.

56 DÉFINITION DfiS FONCTIONS »ya?, a', a?J/, lOgO?

Je dis que la fonction d'argument rationnel a^ est uniformément continue dans tout intervalle borné («, p). II s'agit de satisfaire à l'inégalité

qui peut s'écrire

Qx'\ a^*' — 1 I < e.

Or» si A est un nombre positif supérieur à a"^ et a^ comme a«' est compris entre ces deux valeurs, tout revient à résoudre

l'inégalité

ou . |fl^x/__i| <-i.

Or, cette inégalité est vérifiée quand on a

\x — ar' I < a,

a étant un certain nombre positif, d'après la propriété 3"^.

Ainsi le principe d'extension s'applique à la .fonction d'argument rationnel w et donne naissance à une fonction que nous continuons à appeler a^, définie pour toutes les valeurs réelles de a?, continue, croissante si a > 1, décroissante si a < 1, égale à 1 si a = 1. C'est la fonction exponentielle.

Si a > 4, comme a*" tend vers h-oo en même temps que m si m est entier, a* tend vers -hoo si a? tend vers 4-oc. De même, a' tend vers si a? tend vers — oo. Le cas de a < i s'étudie de même.

52. Les fonctions suivantes des deux variables a? et y: a'Xa^ et a^'^y sont toutes deux continues, car si on a deux suites : a?i, x^^ ..., a^n, ... tendant vers ar^,, et j/i, j/2) ..., ^n? ... tendant vers j/05 on a, d'une part

d'autre part

lim (x„ -h yn) = aro + j/o>

d'où lim a^-^-v» = a'o+J'o.

DÉFINITION DES FONCTIONS 7a?j O^^ XV^ log X 57

Les fonctions continues a*, a^ et a^'^, étant égales quand x et y isont rationnels, sont aussi égales quand x et y sont quelconques, d'après le § 39. Donc on a toujours