On établit de même les propositions suivantes

Étant donné un ensemble de nombres E, ou bien il y a dans E des nombres inférieurs à tout nombre réel, Tensemble est dit alors illimité inférieurement ; ou bien il y a des nombres inférieurs à tous les nombres de E, qui est alors dit borné inférieurement. Dans ce second cas, il existe un nombre m qui est dit la borne inférieure de E, et qui est caractérisé par la double propriété suivante :

1® Tout nombre de E est supérieur ou égal à m;

2® Si X est un nombre supérieur à m, il y a dans E un nombre inférieur à X.

BORNES SUPÉRIEURE ET INFÉRIEURE d'un ENSEMBLE 17

Si E contient un nombreplus petit que tous les autres, m est égal à ce nombre.

Si El est un ensemble contenu dans E, la borne inférieure de El est au moins égale à la borne inférieure de E.

Si tous les nombres de E sont supérieurs ou égaux à un nombre A, il en est de même de la borne inférieure de E.

Quand un ensemble est borné à la fois supérieurement et inférieurement, on dit qu'il est borné,

11. Au lieu de dire qu'un ensemble est illimité supérieurement, nous conviendrons de dire qu'il a pour borne supérieure -+- 00 ; et de même nous dirons qu'un ensemble a pour borne inférieure — oo, s'il est illimité inférieurement. Tout se passe alors comme si^ à l'ensemble II des nombres réels (que nous appellerons nombres /îm's), on adjoignait deux éléments : l'un, H- 00, supérieur par définition à tout nombre réel ; l'autre, — oo, inférieur à tout nombre réel. Nous désignerons par R' l'ensemble R augmenté des éléments n-oo, — 00, qui seront dits nombres infinis et seront considérés comme opposés l'un à Tautre ; d'après les conventions faites, R' est ordonné. Nous considérerons quelquefois des ensembles pouvant comprendre des éléments quelconques de R'. On peut dire à ce sujet qu'wn ensemble d'éléments appartenant à R' a toujours une borne supérieure et une borne inférieure, qui sont des éléments de R'. Le mot nombre, employé seul, signifiera un nombre fini.

18 LIMITE d'une suite de NOMBRES