BORNES SUPÉRIEURE ET INFÉRIEURE D'UN ENSEMBLE

9. Soit E un ensemble quelconque de nombres réels. Un nombre rationnel a peut se comporter, par rapport à E, de deux manières :

1^ a est inférieur ou égal à un nombre de E;

â"" a est supérieur à tous les nombres de E.

Il y a certainement des nombres rationnels vérifiant la condition i*. Si aucun nombre rationnel ne vérifie la condition 2"", c'est quMl existe dans E des nombres supérieurs à tout nombre rationnel (et par suite à tout nombre réel) ; nous dirons alors que E est illimité supérieurement.

Dans le cas contraire, l'ensemble E est dit borné supérieurement ; les nombres rationnels se partagent alors en deux classes, la première composée des nombres vérifiant 1**, la seconde composée des nombres vérifiant "t*; ce partage constitue une coupure, car tout nombre de la première classe est inférieur ou égal à un certain nombre de E, lequel est inférieur à tout nombre de la seconde classe. Le nombre réel M, défini par cette coupure (| 4), est dit la borne supérieure (*) de l'ensemble E. Il possède les deux propriétés suivantes :

1® Tout nombre de E est inférieur ou égal à M.

2° Si X est un nombre inférieur à M, il y a dans E un nombre supérieur à X.

La propriété i<> résulte de ce qu'il est impossible qu'un nombre a de E surpasse M, car alors un nombre rationnel a

CI Ou encore limite supérieure.

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tel que a;>a >> M appartiendrait à la seconde classe relative à M, tout en étant inférieur à un nombre de E, ce qui est impossible. La propriété 2® résulte de ce que, si X < M, un nombre rationnel b tel que X < 6 < M appartient à la première classe, donc il y a dans E un nombre supérieur ou égal à 6, par suite supérieur à X.

Ces deux propriétés ne peuvent appartenir qu*au seul nombre M, car un nombre inférieur à M ne vérifie pas !•, un nombre supérieur à M ne vérifie pas 2®.

De la double propriété caractéristique du nombre M résultent les conséquences suivantes :

Dans le cas où l'ensemble E contient un nombre plus grand que tous les autres, M est égal à ce nombre.

Si El est un ensemble contenu dans E, la borne supérieure de El est inférieure ou égale à la borne supérieure de E.

Si tous les nombres d'un ensemble E sont inférieurs ou égaux à un nombre A, il en est de même de la borne supérieure de E.

Un nombre quelconque X est la borne supérieure de l'ensemble des nombres inférieurs à X.