I . ./ • j j ' r *'*<7 COS. i/d'r a*co$.iM

a ^ Ld*o*' r' sin.*\aidf /■* yj

' ■rj j » Z' ''''7 a*»in.i ' » «l'*" C03. ,* a\

a \ dsds' r* dsils' sin.» rV

= -tf did* {sm.£j— f-7 — COt.eT— p7 : j],

et intégrant par rapport à « et .^V^^ ^ 1® moment tout

^ a* /7*djdi'\

î" Cî"n.«-''C0t..-5^jy-^j;

le calcnl Be*ramène donc, comme pr^c^emneat, à trouTer

la valeur de l'int^rale double JJ' ^^p^'

Si les eom«nt8 sont dans un même (ilan, on a aso, et le moment se r«$dait à

^iï'(9sin.f — root.«),

résultat qui coïncide avec celui que nous avons obtenu en traitant directement deux courants situés dans un même

Digilized by Gopgle

J^LECTRO-DYNAMIQUBS. 85

plan; Car ç n'étant autre chose que 'y^etr derenant MP, on a

et nous avions trouvé par l'autre procédé,

i il Çp — ^G0t.•)^

p désignant la perpendiculaire ÂQ : les deux résultats sont donc identiques. L'int^ration faite entre les limites donne

si Tangle « est droit , ce moment se rédnit à

Lorsqne •= ^ , mais que a n'est pas nnl f le moment d-desiiis devient

L'intégrale qu'il s'agit de calculer dans ce cas est

qu'il fout int^jirer de nouveau par rapport à s' s il vient

As' *(fl'+5')d«' , f(<l'-H')r-:= ^ — î ^li d

96 TaiOKII DBS PHtfNOHàNBS

Soit U Ift fftleor da moment de rotation lorsque les dm, courants électriques, dont les longnenn sont / et s\ partent des points où leurs directions rencontrent la droite qui en mesure la plus courte distance , on aura

Ms^ «T — «arc. tang. ,

ex|wes8ion qui se réduit, quand aso, à M=^»V^, ce qui

s'accorde avec la valeur M=^ ii'p que nous avons déjà trouvée pour ce cas, parce qu'alors q devient la perpendiculaire que nous avions désignée par p. Si I on suppose a infini, M devient nul, comme cela doit être, puisqu'il en résulte

a arc. tang. ^ = ^.

Si Ton nomme z Tangle dont la tangente est

ss'

il viendra

a ' V tang. tj '

c'est la valeur du moment de rotation qui serait produit par une force égale à * -

agissant suivant la droite qui joint les deux extrémités des conducteurs opposées à celles où ils sont rencontrés par la droite qui en mesure la plus courte distance.

Il suffit de quadrupler ces expressions pour avoir le mo-

ÏLBCTRO-DYKAMIQUES. • 87

ment de rotation produit par laction mutuelle de deux conducteurs dont 1 un serait mobile autour de la droite qui mesure leur plus courte distance, dans le cas où cette droite rencontre les deux conducteurs à leurs milieux, et où leurs longueurs sont respectivement représentées par tis et aj» '.

11 est, au reste, aisé de voir que si, au lieu de supposer que les deux courants partent du point où ils rencontrent la droite , on avait fait ie calcul pour dea limiteà queIcon« ques, on aurait trouvé une iraknr de M composé de quatre termes de la forme de celui que nous avoua obtenu dana ce caa particulier, deux de oea termes étant positifii et les deux autres natifs.

Considérons maintenant deux courants rectilignes A'S', L'L* (fig. 27), non situés dans un même plan et. dont les directions fessent un angle droit.

Soit A' A leur qommune perpendiculaire, et cherdions Faction de L'L" pour faire tourner A'S' autour d'nne pairallèle OY à L' V menée à k distance A'0=^ de A.

Soimt H, H' deux éléments quelconques de ces courants; l'expression générale de la composante de leur action parallèle à la perpendiculaire commune A A', devient, en fiti-

saut «=-,

son moment par rapport an point O est donc , en prenant A' •pour origine des s', égal à

88 THI^OftlB DBS PBitiouknEB

en iiiU%rant par rapport à ^ , il vient

et en appelant K et r" les distances If L', WV de M' aux points L', L") et int^prant entre ces limites l'action de L'L*, pour faire tourner rélément M', est

. expression qu'il fiiut intégrer par rapport ks'.Ot ■

laii'J (y— *)dpî=s5a»»'(i^-y^),

et il est d'ailleurs aisé de voir qu'en nommant c la valeur A L" de s qui correspond à r'\ et qui est une constante dans l'intégration actuelle, on a A'L"s=:V/'a' d'oix il suit que

ainsi

le second terme s'intégrera de la même manière, et l'on aura enfin pour le moment de rotation cherché

» K. r/ r^' r.' r/ lang.ip.'tang.^?/;'

Dans le cas où l'axe de rotation parallèle à la droite L'L" ou s passe par le point d'intersection A' des droites a et on a 6 =0 ; et si l'on suppose , en outre, que le courant qui

ïlbctao-dthamiqcIbs. 89 païQOurt #' pirt de ce point d'intenedUm , on aura de plus

en sorte «jue la valeur du moment de rotation se réduira à

Jevais maintecant chercher Faclioii d'un filcondnctenr plié daÎYant le pénmëtre d'un rectangle K'K'L'L'ponr fiûre tourner un conducteur rectiligne Â'S's=/'., perpendiculaire sur le plan de ce rectangle , et mobile autour d'un de ses côtés K'K* qu'il rencontre au point A' : le moment produit par l'action de ce cdté K'K" étant alors évident nul , il &udra à celui qui est dù à l'action de L'L" et dont noua Tenons de calculer la valeur, ajouter le moment produit par KX' dans le même sena que celui de L'L", et en ôter celui qui l'est par K'L" dont l'action tend à faire tourner A'S' en sens contraire; or, d'après les calculs précédents , en nommant ^ et A les plus courtes distances A'K', A'K", de AS' aux droites KX^K^L" qui sont tontes deux égales à a, on a pour les valeurs absolues de ces moments

i»T — ^arc.Ung.|),j«(/— Aarctang.^) , en faisant

celle du moment total est donc

j «' (Aarc. tang. Ç — ^arc. tang. ^— al ^^4^).

go TBrfOAIB DBS PHiKOlliBBS

Telle est la valeur da moment de sotatioii réraltant-de raetion d*an conducteur ayant pour forme le périmètre d*un rectangle, et agissant sur un conducteur mobile autour d*un des côtés du réctangle, lorsque la direction de ce conducteur est perpendicidaire au plan du rectangle, quelle que soit d'ailleurs sa distance aux autres côtés du rectangle et les dimensions de oelui-d. En déterminant par rexpérience Vinstant où le conducteur mobile est en équilibre entre les actions opposées de deux rectangles situés dans le même plan, mais de grandeurs différentes et à des distances diffis* rentes du. conducteur molnle, on a un moyen bien simple de se procurer des Térifications de ma formule susceptible d*une grande précision; c*est ce qu'on peut faire aisément à Taide d'un instrument dont il est trop facile de concevcur la construction pour qu'il soit nécessaire de l'expliquer id.

Intégrons maintenant Texpreséièn ^jf dàhs l'étendue

de deux courants rectili^es non situc-s dans uti même plan, et faisant entre eu\ un angle quelconque e, dans le cas où ces courants commencent à la perpendiculaire commune; les autres cas s'en déduisant immédiatement.

Soient A (lig. 28) le point où la commune perpendiculaire rencontre la direction A M du courant j,AM' une parallèle menée par ce point au courant s\ et r/im la projection sur le plan M AM' de la droite qui joint les deux éléments d^ , dj'.

Menons par A une ligne An parallèle et égale à ?}im', et i formons en n un petit paralli^logramme nn' ayant ses côtés parallèles aux droites M AN, A M', et égaux à ds,às'.

Si l'on répète la même construction pour tous les éléments, les parallèlogranmies ainsi formés composeront le parallélogramme entier N AM D , et, leur surface ayant pour mesure

iLBCTKO- DYNAM IQUES.

d^d^'stn.i, on obtiendra rint^dle proposée multipliée par 8m.e, en cherchant le volunie«ayant pour base N AM'D, et^ tenniné à la surû^ce dont les ordonnées élevées aux différents points de cette base ont pour valeur r étant la dis>

tance des deux éléments des courants, qui correspondent, d'après nôtre construction, à tons ces points de la sur&oe NAMD.

Or, pour calculer ce volume, nous pourrons partager la base en triangles ayant pour sommet commun le point A.

Soient A p une droite menée à l'un quelconque des points de l'aire du triangle AND, et/>y^'/?' l'aire comprise entre les deux droites infiniment voisines A/7, A g' et les deux arcs de cercle décrits de A avec les rayons A/7=»et Ap'=u -\-du: nous aurons, à cause qne Tangle NAIf :=« — » et en appe* lant ? l'angle NA/»,

Or , si a daigne la perpendiculaire commune aux directions des deux conductears, et « et x' les distances comptées de A sur les deux courants, on a

donc, en intégrant d'abord depuis uso jusqu'à «=AR=u.,

n reste à int^rer cette dernière expression par rapport à f : pour cela nous calcurerons ». en fonction de 9 par la proportion AN : AR: : iin.(f + t):8in.t , ou #: ». : :ain. + >}:sin. • ;

93 TirifORIE DES PHlélTOMÈlf ES

et en substituant à a" -{- m.' la valeur tirée de cette proportion , nous auroDs à calculer

r I ~| f f clysin.(9 -4 i)

Nommons ^ et les angles N AD, M' AD, et prenons Tintëgnle précédente entre f so et f , elle devient alors

ir . aco5.(u. + ,) . acos.i i

; Ui-4-Tc.sin. ,^ , . \ —arcsin. , . . . .

et» à cause de ^ — «Ue fl^ change en

I r , a COS. ix' . a cos. i -i

OP

, AK *' — «COS., ^ — îctM.i

d*oà Ton tire ponr Fint^rale Texpression snivante :

. a(s' — «COS. 0 • acoi.t "l

arcsin. , . , , i»— arcsm. ,^ . , . , ,

on, en passant du sinus à la tangente pour les deux arcs,

a(s' — xcos.i) ^ arot. I t

^arctang. — , > . . ,. , - — arc.tang. r > ^ ; et comme on tronve l'intégrale relative an triangle M' AD en

ÏLBCTKO-DTNAMIQDBS. gS

changeant dans cette expression en [jL'et ^ en j', on a pour lintëgrale totale, à cause que ji 4- {t'= it — « ,

[ ic — t— arc. Ung. — : — . > ' ^ . ^ ^ . — arc. tang. , > . 1 «

En ctlculaiit la tangente de là somme des denx an» dont les valeurs contiennent i et s\ on change cette eipresûon en

^^»— • — aictang.

Ji'sin.' I 4- a' cos.t

acot.i - acoUi

— arc. tang. . . -^aratang. -v» . , 1 :

et comme

î-arc.tang. ^«'■•'t^;^;^^ ^J- ^^^cg:.

fi^MP.*«+a' 008. t

on à, en dhrisant par sin. «,

acoLi acot.i ic \

— arctang. ^^^.^^, -arc. tang. ^^.^^.

expression ({ni, lorsqu'on suppose •=:^> sç réduit à comme nous l'avons trouvé précédemment.

94 THI^ORIB DBS PH^NOllklIBS

On peut remarquer que le premier terme de la valeur que nous Tenons de trouver dans le cas général est l'intégrale indéfinie de

(a» +*• —9 «/CM. •)! »

comme on peut le vérifier par la dif férentiation , et que les trois autres s'obtiennent en faisant successivement dans cette intégrale indéfinie:

i*/'=o;a**=o;3o#'=oct*=o.

Si les courants ne partaient pas de la commune perpen* dicuiaire, on aurait ime intégrale composée encort> de (juatre termes qui seraient tous de même forme que l'int^rale in* définie.

Nous avons considéré jusqu'ici l'action mutuelle de courants électriques situés dans un même plan , et de courants

rectilignes situés d'une manière quelconque dans l'espace; il nous reste à examiner 1 action mutuelle dès courants curvilignes qui ne seraient pas dans un même plan. Nous supposerons d'abord (juc ces courants décrivent des courbes planes t t (i rinëes, dont toutes les dmiensions soient infiniment petites. Nous avons vu que l'action d'un courant de cette espèce dépendait de trois intégrales À, B,C, dont les valeurs sont

ELECTRO- D YN A M IQUES.

Concevons maintenant dans l'espace une ligne quelconque Mm O (pl. a, i\g. 29), qu'entourent des courants electrifjues formant de frès-petits circuits fermes autour dv. cette lif^ne, dans des ])laiis iulitiimeiit Taj)pioclies qui lui soient peipendiculaires, de manière qiu; les aires comprises dans ces circuits soient toutes égales entre elles et représentées par V , que leurs centres de gravité soient sur M m G, et qu'il y ait partout la même distance, mesurée sur cette ligne, entre deux plans consécutifs. Fn appelant g cette rlistance que nous regarderons comme iuliiiiment petite, le nombre des courants qui se trouveront répondre à un élément d j de

la ligne Mi»0, sera — ; et il faudra multiplier par ce nom-

bre les valeurs de A,B,G que nous Tenons de trouvor pour un seul circuit, afin d'avoir celles qui se rappcurtent aux circuits de rélément d.f; en intégrant ensuite, depuis Tune'des extrémités L' de l'arc #, jusqu'à l'autre extrémité L" de cet arc, on aura les valeurs de A, B,C relatives à l'assemblage de tons les circuits qui l'entourent, assemblage auquel j'ai donné le nom de solénoïde électro-dynamique , du mot grec ouXuvMi^js«, dont la signification exprime pre'cisément ce qui a la forme d'un canal, c'est-à-dire la surface de cette forme sur laquelle se trouvent tous les circuits.

On a ainsi, pour tout le solénoïde,

''^-Jy-P T^)'

^^'gj\rv

96 THEORIE DES PHlélT OMÈNES

Or, la direction de la ligne ^, perpendiculaire au plan dex, étaot parallèle à la tangente à la courbe on a