ABC

en faisant toujours D=V/'A»-f-B'-t-C* , passe aussi par l'extrémité du solénoïde dont les coordonnées sont x\y\z\

Nous avons vu, dans le cas général, que la résultante totale est perpendiculaire sur cette normale; ainsi l'action d'un solénoïde indéfini sur un élément est perpendiculaire à la droite qui joint le milieu de cet élément à l'extrémité dn solénoïde;

<)8 T 1! KO R I E D E s l'H HN O M K N ES

t*t comme elle l'est aussi à 1 élément , il s'ensuit, qu elle est perpendi( ulaii e au plau mené par cet éiéiaent et par l'extrémité du s()l(Mic)ï(le.

Sa direction étant déterminée, il ne reste plus ({u à en connaître la \ aleur: or, d'a|)rèî> le calcul tait dans le cas général^ cette valeur est ^

e étant l'angle de rëlement d/ avec la normâle aa plan directeur; et comme D=: l/^A'+B'+C* , on "* trouve aisément

ce qui donne pour la valeur de la résultante

On voit donc que l'action qu'un solénoïde indéfini dont l'extrânité eat en L' ( ûg, 29 ) exwce sur l'élément ad, est nor. maie en A au plan bAL\ proportionnelle au sinua de l'angle 6 AL' et en raison inverse du carré de la distance AL*^ etqu'elle reste toujours la même, quelles que soient la forme et la direction de la courbe indéfinie L'L" sur laquelle on suppose place» tous les centres de gravité des contants dont se compose le solénoïde indéfini.

Si l'on veut passer de là att cas d'un solénoïde défini dont les deux' extrémités soient situées à deux points donnés L'fL", il suffira de supposer un 'secbnd solcnotde' indéfini commençant au point L " du premier et coïncidant avec'ltii depuis ce point jusqu'à linfini , ayant ses courants de même

^LBCTRO'DYirAHIQqBS. 99

intensité, mais dirigés en sens contraire , l'action de ce dernier sera de signe contraire à celle du premier solënoide indéfini partant du point L', et la détruira dans toute la partie qui s'étend depuis L" jusqu'à l'infini dans la direction L'O où ils seront superposés; 1 action da solénoïde L'L" sera donc la même qu'exercerait la réunion de ces deux solënoîdes indéfinis, et se composera, par conséquent, de la. forcé que noua venons de calpnler et 4'une autre force agissant en sens contraire, passant de même par le point A, perpendiculaire au plan 6AL*V «t ayant pour valeur

Xii'ds'sin.t"

étant l'angle ^ÂL", et /" la distance AL". L'action totale du soIénoide L' L" est la résultante de ces deux forces, et passe, comme elles, par le point A.

Gomme l'action d'un solénoide défini se déduit immédiatement de celle du solénoïde indéfini, nous commencerons, * dans tout ce qu'il nous reste à dire sur ce sujet, par considérer le solénoide indéfini qui offre des calculs plus simples , et dont il est toujours facile de conclura ce qui a lieu relativement à un solénoïde défini.

Soient L' (tig. 3o) , l'extrémité d'un solénoïde indéfini; A le milieu d'un élément quelconque ùa d'un courant électrique M, AM„ et L' K une droite fixe quelconque menée par le point L';nommonsO l'angle variableKL' A,arinclinaisoii des plans èAL',AL'K, et l la distance L'A. L'action de Vvlément b a sur le solénoïde étant égale et opposée à celle que ce dernier exerce sur l'élément, il faut, pour la déterminer, considérer un point situé en A , lié invariablement au solénoide , et ^1licité par une force dont l'expression soit, abstraction faite

lOO THEORIE DES PHI^NOMàNES

du signe,

%ii'ds'sin.6\L' Xii'àv ^F-'

en nommant d y l'aire ah'b qui est ^le à

l'ds'sin.l W • a

Gomme cette force est normale en A an plan AL'^ , il faut , pour aToir son moment par rapport à l'axe L'K, chercher sa composante perpendiculaire & AL' et la multiplier par k perpendiculaire à AP abaissée du point A sur k droite L'K. (t étant Tangle compris entre les pkns AL'^, AL'K, cette composafite «^obtient en multipliant l'expression précédente par 008. |&; mais dv oos. (t est k projection de Faire âv sur le pkn AL'K, d*oh il anit qu'en représentant cette projection par du, k yakar de k composante cher» , chée est,

Mi' du

Or, la projection de l'angle aL'ésur AL'Kpeat être considérée comme k différence infiniment petite des angles K L'a et K L'6 : ce sera donc dO, et Ton anra

da=— ; ce qui réduit k dernière expression i

etcomme AP=/'sin. 0, on a pour le moment cherché

— sm.6d0.

^LECTRO-DYIf AMIQUE8. lOI

Cette expression , intégrée dans toute l'cHenduc de la courbe M. A M, , donne le moment de ce courant poiir faire tourner le sole'noide autour de L K : or, si le courant est fermé, l'intégrale, qui est eu général

s'évanouit entre les limites, et le moment est nul par rapport à une droite quelconque L'K passant par le point L'.

Il suit de là que dans l'action d'un circuit fermé, ou d'un système quelconque de circuits fermés sur un solénoïde indéfuii , toutes les forces appliquées aux divers éléments du système donnent, autour d'un axe quelconque, les mêmes moments que si elles l'étaient à l'extrémité même du solénoïde; que leur résultante passe par cette extrémité, et que ces forces ne peuvent, dans aucun cas, tendre à imprimer au solénoïde un mouvement de rotation autour d'une droite menée par son eKtrânitë, ce qui est conforme aux résultats des expériences. Si le courant représenté par la courbe M« A Ilf, n*était pas fermé, son moment pour faire tourner le soléaoide autour de L'K, en appelant 6/ ét 6,' les valeurs extrêmes de • relatÎTes au point V et aux jextrémités M„M, de la courbe M.ÂM., serait

(cos. o; — COS. ô; ).

Considérons maintenant un solénoïde défini L'L* (fig. 3i ) qui ne puisse que tourner autour d'un axe passant par ses ' deux extrémités. Nous pourrons lui substituer , comme précédemment, deux solénoïdes indéfinis ; et la somme des actions du courant M, A M, sur chacun d'eux sera son action aur L'L". Nous Tencms de trouver le moment de la première,

TOSI THifoltS DBS PH^VOXlèirKS

et en appelant 6,",ô," les angles eorrcspoiiclants à 6,,0,', mais relatifs à l'extrémité L on aura pour celui de la seconde

le moment total produit par l'action de M, AM, , pour faire tourner le solénoide autour de sou axe LIL' , sera donc

— (C0«, COft.O,"— + C08.C).

Ce moment est indépendant de la forme du conducteur M, A M,, de sa grandeur et de sa distance au solénoïde L'L", et reste le même quand elles varient de manière que les quatre angles 0.', O/^fil^',*," ne changent pas de valeurs; il est nul nonseulement quand le courant M, M, forme un circuit fermé, mais encore quand on suppose que ce courant s'étend à l'infini dans les deux sens, parce qu'alors ses deux extrémités étant à une distance infinie de celles du solénoide) l'angle 0,' devient égal à 6.", et l'angle (>.' à ô/'.

Tous les moments de rotation aatoor des droites menées par l'extrémité d'an sdénoide indffîni étant finis, cette extrémité est le point d'apptication de la résultante des forces exercées sur le solénoïde par nn circuit électriijue fimné ou par un système de courants fumant des drcnits fermés; on peut donc supposer que tontes ces forces y sont transportées, et la prendre pour lorigine A (fig. 3a) des coordonnées: soit alors BM une portion d*un des courants qui agissent sur le solénoïde; la force due â nn élément quelconque Mm de BM est, d'après ce qui précède, normale au plan A Mm et exprimée par

dt" étant l'aire A M m» et r la distance variable A M.

^LSCTRO-IVYN AMIQUES. Io3

Pour avoir la composante de cette action suivant AX, on doit la multiplier par le cosinus de l'angle qu" elle fait avec AX, lequel est le même que l'angle des plans AMw, ZAY; mais di* multiplie par ce cosinus est la projection de AM/n sur ZAY, qui est égale à ^

jrdz — zdr ,

si donc on veut avoir l'action suivant AX exercée par un nombre quelconque de courants formant des circuits fermés, il faudra prendre dans toute l'étendue de ces courants i'in» tégrale

Tff—?^ quiest — .

A désignant toujours la même quantité que {wëeëdemment dans laquelle on a remplacé » par aa valenr 3; on troofera aemblablement que l'action suivant A Y est exprimée par

' ~' et celle qui a lieu suivant AZ, par

La résultante de ces trois forces, qui est l'action totale exercée par un nombre quelconque de circuits fermés sur le soléndide indéfini, est donc ^ale à

en désignant toujours |/'a* -i-ft*+G* par D; et les oosinns des angles qu'elle fiiit avec les axes des ;r, des ^ et des s, ont pour valeurs

I04 THtfOJllB DBS PHBHOH&ITBS