D« e»l«iil «mbA le nombre de» «bAncea est

II arrive en général» dans les sciences d'observation, que le nombre et la nalnre des chances d'un événement se trouvent complètement Inconnus, et qu'on ne parvient è les déterminer

approximativement que par des expériences bica conduites cl discutées avec discernement.

Supposons, par exemple, qu'on chorchc à connaître si la naissance d'un garçon est plus probable que celle d'uiie lille. Pour résoudie cette question, on a recours à rexpérience; et l'on cherche, par une énamération faite avec soin, dans quel rapport ont été, pendant un certain temps, les naissances masculines et les naissances féminines. La théorie enseigne que le rapport obtenu ainsi peut être pris sensiblement pour celui que Ton cherche. En général, quand on a ^Hnmé dem $$pèeei d^ivéM-

44 THâORIB DES PROBABILITÉS.

mentSy la probabilité qu'un de ces événements se reproduira encore une fois, est une fraction qui a pour numérateur le nombre de foi$ que l'événement dont il eet queiUon a été obterté plm i ; et pour dénominatewr, h nombre total dee obeervattOMfplui

En Belgique, od a compté aonnellement environ 70,000 nais» sanees masculines snr 65,800 naissances féminines. La probabilité d'une nouvelle naissance masculine serait donc 7^"^; et celle d'une naissance féminine "saoV Q^^^^ nombre des observations est considérable, les résultats sont à peu près les mêmes que ceux qu'on obliondrait en considérant les chances favorables et les chances défavorables comme étant niinicriquemenl dans le même rapport que les événements observés* Ainsi, les probabilités précédentes seraient représentées parles nombres mih ^ îHikî Plu^ simpiemenl par les fractions y et

ToDt se passe comme si Ton nous présentait une urne conto-* nant un nombre infini de boules dont on ne ferait connaître ni le nombre ni les couleurs. On nous permet seulement d'en tirer autant que nous voulons, pour nous éclairer par l'expérience, el, d'après le nombre de boules sorties, nous jugeons de ce que contient l'urne. Les choses se trouvent ramenées ainsi au cas le plus simple, celui ou les chances sont entièrement déterminées.

Sur 146 comètes dont les mouvements étaient calculés, en 1846, il s'en trouvait 75 dont le mouvement était direct et 71 pour lesquels il était rétrograde. On pouvait déduire de ces observations que la probabilité d'un mouvement direct, pour la première comète à découvrir, était i peu près ^ ; et la probabilité d'un mouvement contraire

Quelquefois, à la suite d'un nombre donné d'épreuves, il se trouve que Ton n'a observé qu'une seule espèce d'événements ; comme si l'on tirait des boules d'une urne et que loutes fussent de la même couleur. La théorie, dans ce cas, donne encore la même règle de calcul, et montre que la probabilité que cet événement se reproduira encore la fois suivante, e$t égaie an nombre âlobmvatiem aupaenU dei^ dmeépar le même nombre augmenté de % unitée*

LES GHANCBS ÂTAfiiT INCOfiNUBS, 45

On â découvert jusqu'à présent 30 planètes qui, toutes, marchent dans le même sens autour du soleil; on demande quelle est la probabilité que, si Ton découvre une nouvelle planète, elle marchera dans le même sens que les autres. D'après le principe énoncé précédemmeoi, la probabilité est fî^ et la probabilité contraire

Od voit que le retoar d'un événement devient d'autant plus probable qu'il a été observé plus de fols de suite. Cette manière de juger a cependant soulevé desdififieultés. On s^expose, en effet,

surtout après un petit nombre d'épreuves, à prendre pour la règle ce qui n'est que l'exception. Celui qui viendrait dans nos régions et qui aurait compté consécutivement 20 jours de pluie, pourrait croire qu^^ cet état de choses va ioiitiiuier ; tandis que connaissant la nature du climat, il saurait que la continuation des pluies constituerait une véritable anomalie.

La difficulté consiste donc à savoir de quelle nature sont les eausesinfluentes^et combien d'observations sont nécessaires pour les mettre en évidenee. Nous avons déjà vuj dans le chapitre précédent, qu'en procédant par voied'expérience, Terreur devient d'autant moindre que les observations ont été plus nombreuses et que la précision croit comme la racine carrée du non^re des observations.

L'expérience ne nous fait connaître la nature des chances que sous de certaines resiriclions ; ainsi, après avoir observé un même événement plusieurs fois de suite, on a des probabilités plus ou moins fortes de croire au retour de cet événement : on sent qu'il euste une cause qui focilite sa reproduction. La ihéo* rie^ Àns ce eas, offre encore un moyen très-simple de calculer la probabilité que cette cause existe effectivement : la priMilité eêtune fractUm qui a paurdinminatewr le nombre 2 mulHplié autant de fois par lui-même que l'événement a été observé de fois consécutives; et pour numérateur, le même produit moins i.

Quelle est, par exemple, la probabilité qu'il exisie, pour les planètes, une plus grande facilité de se mouvoir autour du soleil dans une direction plutôt que dans une autre opposée? On a obeervé 30 planètes qui se meuvent, toutes, dans le même sens,

46 TUÉOmfi DBS PROBAfilUTéS.

c esl-à dire d'occidenl en orient; la probabilité de se mouvoir daos ce sens est ou bieo rSjfi ï Hii- ^'^ ^ mense probabilité en favenr de rhypolhèse qoMl existe une cause qui facilite le mouYement uniforme de translation des planètes autour du soleil.

On peut aussi caîcnîer la probabilité qu'un événement observé un nombre quelconque de fois de suite, se reproduira encore plusieurs fois. La profnihiliié vaut une fraction qui a, pour numérateur, le nombre d'observations faites plus i ; et pour dénominateur, ce même nombre plmi et plus encore le nombre de fois que V événement doit se reproduire^ Par exemple, quelle est la probabilité, après avoir tiré consécutivement 50 boules blancbes d*une urne, que, si l'on en tire encore trois, elles seront blanches également? Il faut diviser 30 plus I ou 31, par 30 plus 1 et plus 3 ou 34, et la probabilité demandée sera f^.

Celte même fraction représente la probabililé que si l'on découvre encore trois planètes, elles niardieront dans le même sens que les 30 planètes que nous coiinaissons d^]k. Dans Tignorance de ce que contient l'urne ou de ce que l'avenir réserve à nos découvertes, nous supposons les conditions ideuUques des deux côtés.

On voit du reste que la probabilité irait continuellement en décroissant, à mesure que le nombre des événements attendus serait supposé plus grand.

Les principes précédents sont très-utiles dans les sciences d'observation. On a fait, par exemple, quatre expériences qui se sont accordées à donner le même résultat; et l'on en coiiclul que la probabililé qu'une cinquième expérience donnera encore un résultai coiiforme aux précédents est l- Quant à la probabilité qu'il existe un motif qui favorise le retour des résultats observés, elle est ^.

Quand plusieurs espèces d'événements se produisent par l'ex* périence, les calculs pour déterminer les probabilités respectives des retours decbacun d'eux deviennent assez compliqués. Heureusement on trouve que les résultats sont à peu près les mêmes que ceux qu'on obtiendrait en considérant les cbances favorables et les cbances défavoraUes comme étant numériquement dans le

LES CHANGES âTANT INCONNUES* 47

. même rapport que les événemeoU observés ; c'est un moyen de simplification dont nous nous sommes déjà servi précédemment. Ainsi; on a tiré d'one urne 57 boules blanches^ IIK boules noires et 30 boules rouges ; nous admettrons que l'urne contient des boules blancbes^ noires et ronges» réparties proportionnelle* ment aux nombres précédents et qui sortiraient proportionnellement à ces mêmes nombres ^ si Ton continuait les tirages.

Plus on a d'obscrvaiions, et moins il y a d'erreur à calculer de cette dernière manière qui suppose qu'on connail le nombre total des chances, et le nombre de chances favorables à chaque espèce d'événements.

9» Des moyeiiMB cÉ des limites en g^énéral.

Quand on se met en présence de la nature, et qu'on clierehe à l'interroger, ce qui frappe au premier abord c'est la variété infinie qu'on remarque dans les moindres phénomènes. Quelles que soient les limites dans lesquelles on concentre son aiLeiition, on trouve une diversité qui étonne aulaiiL qu'elle embarrasse. Les simples appréciations laissent un vague, inconiiialiblc avec la précision qu'exigent les sciences. Un même objet, mesure ou pesé plusieurs fois de suite, présente, inali;ré toutes les précautions que i'on prend, des résultats presque toujours dissemblables. Nos idées cependant ont besoin de se fixer et de s'arrêter sur un nombre précis, sur une moyenne, qui donne le résultat des observations aussi dégagé que possible de tout ce qu'il a eu d'accidentel.

La considération des moyennes nous est si familière, que nous remployons, en quelque sorte, à notre insu. Ainsi, nous ne faisons pas dilîkulté d'allribuer au soleil une i^raiideur ;i])parente déterminée, bien que cet aslre ne soit pas vu rigoureusemciit sous le même angle pendant deux jours, et l'on peut dire pendant deux instants consécutifs. C'est ainsi que nous disons encore quelle est la température des étés dans un lieu donné, bien que cette température varie à chaque instant.

48 THAORIB DBS FROfiABlUTÉS.

La théorie des moyennes sert de base à toutes les sciences d'observnlion ; elle est si simple et si naturelle, qu'on n'apprécie peul-ètre pas assez le pas iairaense qu'elle a fait franchir à l'esprit humain. Nous ignorons à qui elle est due ; c'est ainsi que presque toutes les grandes découvertes se soûl établies» sans qu'on en ait connu les ioventeurs» Tout ce que nous apprend à cet égard Thistoire des sciences» c'est qu'un peuple se servait de la découverte avant les antres : îl en est ainsi poar la numération» récriture et l'imprloierle même.

Remarquons dès à présent qu^en se préoccupant de l'Idée de la moyenne pour des quantités susceptibles de varier, on a peutêtre trop perdu de vue les limiies ciilre lesquelles s'opèrent les variiilions. Partout où l'on peut dircji/us ou moins^ on a nécessairement trois choses à considérer» un état moyen et deux limiies.

Sans recourir à la science, l'habitude nous donne une appréciation vague de la moyenne et des limites des variations qui appartiennent à chaque élément variable qae nous présente la nature ou Tétat social; c'est d'après cette appréciation que nous sommes gnidés dans nos raisonnements. Hais il convient aux progrès des lumières de substitoer des idées précises à des notions vagues.

11 serait assez curieux de rechercher à quelle époque on a commencé à faire un usage raisonné des moyennes. Il en existait assurément une idée obscure dans Tantiquité, car celte idée est inh(^renlf^ à notre nature et sert de base à presque tous nos jugements ; mais elle ne s'est produite explicitement que très-tard» et il serait difiQcilede fixer» diez les modernes» i'époqne de son introduction, celle où Ton a établi en principe que /amoyenna d*une térU dCobimations ^oblienî en di«îsa»l la somme in valeurs éburvies par le nombre dee €ibêervation$M La considération des limites, en tant qu^elleseomplètentlMdéedela moyenne, n'a pu prendre quelque consistance que par l'application du calcul des probabilités à l'étude des phénomènes naturels. L établissement et le développement de la théorie des moyennes formeraient un des chapitres les plus intéressants de l'histoire de l'esprit humain ; c'est Archimède» ce génie remarquable à tant

L£S CUÀiNC£S ÉTANT INCOiNiNl]£S. 49

d'^ids, qui semble aveifi dans Taotlquité, le mieux apprécié FimportiQoe des moyennes ; 11 en a fatl nn usage admirable dans la reebercbe da eenire de graffiti, dont il esl FInventear. 11 a snbstiiné la considération d'un i»oint nRi<|tte I celle d*nn f[rand

nombre de points matériels ; et celle idée ingénieuse, qui a été si bien fécondée depuis^ lui mériterait, à elle seule, la reconnaissance des hommes.

Ârîslote, l'un des plus grands observateurs do l'antiquité, avait également aperçu les propriétés des moyennes ; il en faisait Papplication aux sciences morales : selon lai, les vertus consistent dans nn juste état d'équilibre ; et toutes nos qualités, dans leurs plus grands écarls de la moyenne, ne produiseni que des vices. Cette doctrine avait passé de réoole des philosophes chez les poêles : Horace, parmi les Romains, en a été Tun des plus élégants et des plus aimables Interprètes.

Mais combien il y a loin de ce:^ premiers aperçus aux savantes théories que nous possédons aujourd'hui 1 El cependant, il nous reste bien du chemin à faire encore, pour que les travaux de ranalyse nioderno produisent tons leurs fruits. La plupart des observateurs, les meilleurs même, ne connaissent que très-vaguement, je ne dirai pas la théorie analytique des proba* biiités, mais la partie de cette théorie qui concerne Tappréciatien des moyennes.

Quand on calcule une moyenne, on peut avoir en vue deux choses bien différentes : on peut chercher un nombre qui existe véritablement , on bien un nombre qui donne Hdée le plus rapprochée possible de plusieurs quantités différentes, exprimaiil des choses homogènes, mais de grandeur inégale. Expliquons notre pensée.

En mesurant la hauteur d'un édifice vingt fois de suite, nous ne trouverons peut-être pas deux fois identiquement la même valeur : cependant, on conçoit que l'édifice a une hauteur déterminée, et si nous ne l'avons pas estimée exactement par chacune des opérations faites pour la reconnaître, c'est que ces opérations comportent quelque incertitude. On se borne alors à prendre la moyenne de toutes les déterminations pour la véritable hauteur cherchée. Les limites plus ou moins larges dans

SD THÉORIE DES PROBABILnÉS*

lesquelles se trouvent renfermées les mesures obtenues dépendent du plus ou moins d'adresse et de l'extctitude des instruments dont il est fait usage.

Nous pouvons encore employer le calcul de la moyenne dans un autre sens. On voudrait donner une Idée de la hauteur des maisons qui se Irouveiildans une rne déterminée. Il faudrait mesurer la hauteur de chacune d'elles, faire la somme des hauteurs observées, et diviser le résultat par le nombre des maisons. La valeur moyenne ne représentera la grandeur d'aucune d'elles en pnrlieulier, mais elle aidera à faire connaître leur hauteur en général; et les limites plus on moins larges dans lesquelles se trouveront renfmiées toutes les mesures obtenues^ dépendront de la diversité des maisons.

Il exista entre ces deux exemples une différenee notable qu'on n*aurapeut-êtrepas8aisfeaupremier abord, mats qui n'en est pas moins d'une grande importance. Dans le premier, la moyenne représentait une chose existant réellement; dans le second, elle donnait, sons la forme d'un nombre abstrait, une idéegénérale de plusieurs choses essenliellenieril diiïerciiles, quoique homogènes.

D'une autre part, et ce point est capital, les nontbres qui ont concouru à former la moyenne dans l'un et l'autre exemple^ se présentent de manières bien différentes. Dans le second exemple^ ils ne se trouvent liés entre eux par aucune loi de continuité; tandis que^ dans le premier^ comme nous aurons occasion de le voir bientôt, les déterminations des bauteurS| bien que fautives» se groupent des deux côtés de la moyenne avec une régularité telle qu'on pourrait assi^^ncr d'avance leurs valeurs, si l'on donnait les limites entre lesquelles elles se trouvent comprises.

Celle distinction est si importante, que j'emploierai des mots différents pour mieux rétablir; je réserverai le nom de moyenne pour le premier cas, et j'adopterai celui de moyenne arithmétique pour le second, afin de faire sentir qu'il s'agît ici d'une simple opération de calcul entre des quantités qui n*ottt pas de relations essentielles. Ces relations ne s'aperçoivent pas toujours; mais parfois on les reconnaît quand on ne s'attendait pas à en trouver, et la moyenne aritbmétiqne devient alors une véritable moyenne.

Quelquefois la moyenne ariliimélique se ealcnlé d'après les éléments les plus divers, sans qn^on puisse en conclnre que ridée générale qu'elle doit représenter soit sans otilité oa sans importance. Je citent pour eiemple la nU moyeime. On sait que le statisticien, quand il vent la calculer pour un pays donné, suppose que tous les IndiTidos nés en même temps dans ce pays mettent en commun les années, mois et jours qu'ils ont à vivre, et en foiil un jmrlage égal enlro eux, de manière à ce que l'un ne vive pas plus longtemps ^fue Taulre. Ainsi, sur 100,000 iiniividus, 9,600 ne vivent qu'un mois, 2,^160 vivent deux mois, i,7G0 vivent trois mois, et ainsi de suites On fait la somme générale des durées ûe la vie de chacun de ces individus, et Ton divise par 400,000. Le résolut de l'opération donne la vie moyenne : elle est d'environ 3â ans pour la Belgique, ainsi que pour la France; elle s*élève, dit-on, à ZZ ans pour rAngle* terre.

On a remarqué que, par suite des progrès de la civilisation et des sciences , la vie moyenne est devenue successivement plus longue chez quelques peuples, et l'on s'en est félicité, surtout par ridée que railongement de la vie s'est également reporté sur tous les individus : c'est en effet ce qui se produit ie plus généralement.

On peut acquérir de ia manière suivante une connaissance assez exacte de la précision d'un résultat moyen. On divise en deux parties l'ensemble des valeurs observées dont le nombre est supposé très-^rand, et l'on prend, pour chacune de ces parties, la valeur du résultat moyen ; si ces deux valeurs diffèrent extrêmement peu l'une de l'autre, on est fondé è regarder chacune d'elles comme u ès-précise. « Rien n'est plus propre que ce genre d'épreuves, dû le baron I ourler, à mettre en évidence rexaclitude des résultats, et il est presque inutile de présenter au lecLeur des conséquences qui ne sont pas vérifiées par des comparaisons des valeurs moyennes. » Ainsi, pour reconnaître quelles espèces de boules contient une urne, il faut répéter un très-grand nombre d'épreuves, dont chacune consiste à extraire

* Voy. les tables dû mortaltti (le Belgique dans let AHnuairet de V OltervaUirê itBnuulUê*

52 THfiOMB DBS PROBABILITÉS.

une boule de Turne, et à l'y replacer après avoir marqué sa coQiear; on divise alors fortuilemeiit la série des observatioBS en deux ou plusieurs parties^ el Ton compare les Taleurs moyeftnes que l'on déduit s^rément de ehaeuBe de ces parlies.

L'eaiploi de celte règle suppose évidemment que la composition de l'urne ne change pas pendant toute la durée des expériences.

On pourrait encore appliquer la règle au cas où des changements surviendraient dans h nature des causes, et l'on peut niènie coniiaUre ainsi l'effet de ces cbaiigemenls ; mais il est nécessaire, dans ce cas, de considérer séparément les intervalles dans lesquels la cause demeure constante) et de multiplier les obserations relatives à chacuB de ces intervalles. Les sources les plus communes de l'erreur et de rincertitnde des conséquences que plusieurs écrivains déduisent des recherches scientifiques, sont : l<» L'incKactitude des observitions primitives recueillies par des moyens très-divers et non comparables ; 9* le trop petit nombre des observations, ce qui ne permet poinl de les diviser en séries el de former séparément le résultai de chaque série ; 5° raltéraiion on progressive ou irrégulière que les causes ont subies pendant la durée des observations.

S* De« erreurs des observatloDi. lioi ûe» causes nrcfdeiitelleii. I^ol des moludres carrés* Ëiol «les iprands nombres.

Supposons qn'on ait mesuré plusieurs fois de sulle un même

objet, la hauteur d'une maison par exemple : malgré tous les soins donnés à cette opération, il arrivera que les différents résultais ne seront pas identiquement les mêmes. Nous avons déjà vu qu'en pareil cas, on prend la moyenne de tous les nombres observés pour la hauteur cherchée.

En adoptant ce dernier nombre, on nomme erreurs d'observation les différences qui se trouvent entre lui et chacune des mesures particulières ; ces erreurs seront positives ou négatives^

€t,en général, dissemblables entre elles. Plus où aura opéré avee sofiii plos elles seront petites.

Il ne frat pas eroîre eqiendant qae les errenrs , bien (fii'elles proviennent de petites maUdresseson de mille autres causes accidentelles, se présenteront sans ordre, et, comme on dit Yolcaireinenl,au liasard : nous "verrons bientôt le contraire. Remarquons pour le moment que les grandeurs de ces erreurs, ou de ces f^carts de la moyenne , peuvent déjà donner une idée de Tadresse do celui qui a ob^^ervé. Toutes clioses «'gales, elles seront moindres pour tel observateur, plus grandes pour tel autre.

Il faut cependant établir une dislinclion : quand on prend les meurs des observations, pour se faire une Idée de la précision du résultat , ee n'est pas la moyenne des erreurs que l'on consulte f mais la moyenne des carrés des erreurs dont on eitrait la racine carrée : e^est ce qu'on nomme rerretir moyenne. Ainsi, Ton a mesuré cinq fols la hauteur dMne maison, et Ton a trouvé que la hauleur moyenne est de SO mètres : les erreurs des observations ont été successivement

On fera les cnrr^s de ces nombres et on divisera leur somme par cinq (nombre clos observations)* On aura ainsi liKG, dont la racine carrée iO'^^fl^ est Terreur moyenne.

On peut voir que, par cette manière de calculer, les erreurs un peu fortes ont une importance très-grande* La seule erreur — f 8| dont le carré est ZU, a plos d'importance que les quatre autres erreurs réunleSi pour lesquelles la somme des cariés n'est que

Pouravoir ceque Ton nomme, dans la théorie des probabilités, Verreur probable, il faut multiplier l'erreur moyenne par an nombre qui s'éloigne très-peu de |. Dans notre exemple, Terreur probable serait donc 7«™,i7 : ce qui veut dire ([uc si l'on recommençait la mesure, il y aurait i contre \ à parier que l'erreur, soit en plus, soit en moins, ne dépasserait pas T""",!?. C'est par la comparaison des erreurs probables qu'on jugerait de la précision respective de deux ou de plusieurs séries d'obser-

^lODS.

THftORlB DES PROBABILITÉS

Remarquons q 06 7°*°*, 4 7 est Fcrrcur probable d'une observation Uùlée; si Ton voûtait avoir Terreur probable du réi^lai 20 mètrès, c'est-èHlire si Ton voulait savoir de eombieo ce résultat pent varier encore par des mesures ultérieures , il faudrait diviser le nombre obtenu T^'^IT par la racine carrée du nombre des observations qui ont concouru à le produire ; il faudrait donc le diviser par la racine carrée de 5 : on aurait ainsi, pour erreur probable du résultai, ou 5™'", 20. 11 y aurait donc \ contre \ à parier que la hauteur de 20 mètres ne diffère pas de S'^^'^âO de la hauteur que l'on cliercbe à déterminer.

La considération de Terreur probable est d'une grande importance dans les sciences d'observation ; elle nous permet de reconnaitre le degré de précision qu'on est parvenu à atteindre.

£n faisant une série d'obser?ationS| quelquefois on n*a en vue que de déterminer une seule inconnue» comme dans Texemple qui a précédé ; quelquefois on se propose de déterminer plusieurs inconnues è la fois, et alors la solution du problème offre plus

de difficultés. Supposons, par exemple, qu'on ait à résoudre deux équations du premier degré à deux inconnues; les premiers principes de l'algèbre fout connaître que le problème est déterminé et que les deux inconnues n'admeltenl chacune qu'une seule valeur. Si l'on ajoutait une troisième équation à deux inconnues, le problème serait plus que déterminé ; car en combinant cette troisième équation avec l'une et Taulre des deux précédentes, on aurait deux nouveaux systèmes de deux équa* tions qu'on pourrait résoudre séparément, et par suite l'dne et l'autre inconnue aurait en général* trois valeurs dliférenles; . laquelle fiudralt-il prendre? La théorie des probdiilltés montre qu'il faut prendre la valeur de manière à ce que la somme des carres des erreurs forme un minimum, et elle enseigne en outre à faire directement le calcul sur toutes les éqnaiions prises en même temp^ ; c'est en quoi consiste la méthode des moindres carrés. Les ]i[ incipes de ces calculs ne peuvent trouver place dans un traité élémentaire.

Voyons maintenant en quoi consiste la loi des caiisef ocd-

LES CHANflBS ÉTAMT INGONMIIBS. 55

dentelles. Nous reprendrons l'exemple ci lé plus liaut ; seulement au lieu de cinq mesures de la bauleur du bàtimenl , nous sup- ]i08eroiis que Ton eo ait bit mille , el nous classerous toutes les erreurs d'observation par ordre de smodear ; par exemple^ en groupant ensemble eelles gui surpassent la moyenne de 0 à 4 millimètres, de i à 8 millimètres^ de 8 à iS millimètres, et ainsi de saite : nous ferons un elassement analogue ponr les erreurs goi tombent an-dessons de la moyenne. Cela posé , nous remar* querons les particularités suivantes, s'il est vrai que les erreurs des mesures onl eu lieu sous riiifluencc de causes puremenlaccidenlcllcs, et sans qu il y ail de tendance à prcudre des mesures ou trop grandes ou trop petites :

Les groupes des erreurs positives et ceux des erreurs négatives seront également nombreux et sensiblement les mêmes des deux côtés de la moyenne ;

3^ La valeur numérique de chaque groupe diminue à mesure qu'on s'éloigne de la moyenne ;

3* Ces valeurs numériques sont calculables h priori et dépendent d'une formule qui exprime la loi de posstM/tW on des Cëutee aeddènteUeê.

Le tableau suivant préscnLe un exemple de la manière dont procéderaient nos erreurs do mesure, en supposant huit groupes au-dessusde la moyenneel tout autant au-dessous de !a moyenne, ce qui porte la limite des erreurs à 52 millimèires. Nous n'écrirons que les groupes positifs, puisqu'au signe près, les groupes négatifs seraient exactement les mêmes.

Grandear Am «rraart des otemations.

Nombre d'crrenit conteiittet dans «Im^m s^P*-

l** groupe, de Ohé millim.

8« — de 4 à 8 — 5« — de 8 à « —

éB de 12 à 16 —

«• — de 16 à 20 — 6« — de 20 à 24 — 7* — de 24 à 28 —

8« ^ de â8 à 32 —

TilÉOAIfi 0SS PRQBABIUTÉS.

Sur 500 erreurs positives, il y en aurait donc 171 s'élevanl au-dessus de la moyenne de 0 à 4 millimètres ; il y en aurait 141 de 4 à 8 millimètres, et ainsi de suite; il en serait de même pour les groupes qui tombent au-dessous de la moyenne.

L'erreur probable tomberait entre 4 et 8 millimètres. Ou voit en effet qae sur 500 erreurs positives, il s'en trouve 171 de . Oàimillimètrei et 512 de 0 à 8 millimètres ; la moyenne de ces denx nombres est 241, à peu prés moitié de 500. Il yanraitdone à peu près autant d'erreurs positives excédant 6 millimètres que d*autre6 tombant au-dessous de es nombre, et par suite, on peut parier 1 contre 1 que Terreur n'excédera pas 6 millimètres; ce dernier nombre est par conséquent Terreur probable : on le calcule plus exactement d'une manière directe^ comme il a été indiqué au commencement de ce chapitre.

On peut rendre la loi des causes accidentelles plus sensible par ia figure ei-jointOi qui se rapporte à l'exemple précédent*

SS 18 Si tO 46 i« 8 4 o k 8 U IC tO %i 2S 32

Les chiffresi placés sur la ligne horizontale cà, indiquent , par leur distance au point la grandeur respective des erreurs positives et négatives ; et les perpendiculaires qui leur corres* pondent figurent, par leur longueur jusqu'à la courbe, le nombre des erreurs. Ainsi , la perpendiculaire ha' Indique, par sa longueur, combien il y a comparaMvement d'erreurs positives de 6 millimètres; et toute la surface aaW, entre cette perpendiculaire et la moyenne qo\ représente la somme des erreurs de 0 à 6 millimètres. Les perpendiculaires et aa' servent de limites à l'erreur probable, et la portion hh'o!a de la surface qu'elles comprennent entre elles, est équivalente à celles oa'd

LES GiUMG£S iîAMT IMCONMUES. 57

et bb'c placées extérieurement et représentant la somme des erreurs positives et négatives plus grandes que 0 millimètres.

Cette courbe suppose que les causes accidentelles d'erreur, en plus et en moins, sont parfaitement égales et indépendantes. 11 arrive parfois que les causes aecidentelles qui tendent à exagérer la quantité ebardiée n'ont pas la même probabilité qae celles qui tendent à Tamoindrlri et par exemple que les erreurs en plus ont mie tendanee à être pins grandes que les erreurs en moins. La courbe alors perd sa symétrie y et son ordonnée maximum oo' quitte sa position médiane pour se rapprocher de Tune ou de i'aulre extrémité c ou d * ; il arrive aussi parfois que la quantité qu'on mesure n'est pas invariable ; par exemple, au lieu d'avoir à mesurer la hauteur d'un édifice, on peut avoir à mesurer la hauteur d'un homme, laquelle varie, soit par lassitude, soit par d'autres causes, soit pendant le cours des observations. Ces petites variations peuvent alors être regardées comme les effets de causes accidentelles ajoutées aux antres causes accidentelles^ qui déjà inflnaient sur le résultat final.

* ht eaM rmd fort l»i«B Mmpte de cm dreonitances : U eowthê tM Sgttre, pn MS ordomiétt» la soeeewioa 4w différenit terines da binôoiê

et lee termeft da second membre«eomne aoei l'afiNie m page 36, sont lee probabilités de tous Ips êv^nr-ments qui peavent se pr^^^pntor ft ici de toutes les erreurs possibles. Ainsi a"> représonte la probabilité que toutes les erreurs en plus concourent pour rendre l'observation fautive ; nuiF^*b repréeente la probabnilé qne

toulet 1m erreurs en plus, moins une, concourent ; a*^H représente U

probabUilAqae teaias lee tmort en plae, awiae dea«t emicoaieati et aiasi de

euiio.

Quand les erreurs en plus ont mêmes cbances que les erreure ea aïoiat» aa a tfssb, et le dif«leppeai«Bt ëa bloôaie est eyaiètriqae : le plae graad terme, comme oa eait, le trouve au milieu du développement; c'est h-dlre que la plus grande probabiîité est pour que les cans*^*^ dVrrour eu plus soient compensées par un égal nombre d'erreurs en moins, A paittr de ce terme maximum, les autres termes vont ea dtiatnaaat vere lee deai extrémitéc da défeleppeaieat, eemne l'iadiqae la courbe.

Otinnd fT n'fst pas ^gal h h. terme le plus grand du développement est celui dans lequel les exposants Uo a et 6 sont proportionnels aux valeurs de ces mème« quantitéi. Voyei lee lellret «ar ja MwU d$t prMUM* appliquée «ax «eieacff laomfei etfottUftm, ait ce lajet eit traité avec beaacenp de âMeppeBwaie.

La question peut se présenter sous une forme plus générale encore : supposons qu'on demande quelle est la taille moyenne des Brabançons, on trouvera, ici, outre toutes les causes accidentelles d'erreur que nous venons d'énoncer, quand il s'agit d'un seul individu , les variations qae l'on reneontre en passant d'un individu à l'autre; or« les mêmes principes du calenl des probabilités sont encore applicables, senlement les eipérienoes doivent être très-maltlpliéês, pour détruire les effets des causes accidentelles qui sont devenues plus nombreuses* C'est par ce motif que M. Poisson a nommé /oi îles grands nmnhreê l'extension du principe de Bernoulli qui se rapporte à la meàui e d'un objet uuique.