SS

sTîT au tots

on pourra facilement conclure par induction comment il fau^ dmit continuer ce tableau ; car, dans la probabilité malbéma* tique de tirer un nombre impair, le numérateur de chaque fraction est égal au double du numérateur de la fraction précédente ; le dénominateur mut le double de son numérateur diminué d'une uûilé.

THÉORIE DES PROBilBILITÉS.

S. De l'espéniMce nuiihéfluitâ^iiie*

Dans son origine. 1ji lh(^or!p des probabilités n'avait pour mission que d'établir des principes d'équité entre les joueurs, de déterminer les enjeux et de régler les partages dans ie cas où l'on quitterait la partie sans l'avoir terminée. L'équité veut, en effet, que les deux joueurs soient placés dans une position telle qu'au-' eun d'eux n*alt d^avantages sur l'autre. Ainsi, quand Ils ont des chances égales de gagner, ils doivent exposer les mêmes sommes; mais, quand h$ prehahilUés de gagner ne sont pas lei mimes, les joueurs doivent exposer des sommes proportionnelles à ces probabilités.

Dans line loterie, dans la loterie génoise par exemple, où l'on comple 1)0 numéros, rehii qui placerait sur cinq de ces numéros, devrait exposer 5 francs, tandis que Tautre joueur qui a, en sa faveur , les 85 numéros restants , devrait exposer 8S francs : les enjeux seraient dans le rapport de l( à 85 ou de i à 17, c'est-à-dire comme les probabilités respectives de gagner. Gela se conçoit: en effet, supposons 90 ebances égales et 90 joueurs ; chacun de ces Joueurs ayant une de ces chances, sera dans le même cas que ses voisins et exposera autant qu'eux, i franc par exemple ; sa probabilité de gagner sera ~. Mais une personne peut se substituer à cinq de ces joueurs, en payant leurs mises; et une autre personne peut également se substituer aux 85 joueurs restants, en payant aussi leurs mises; la première devrait donc payer 5 francs; et, la seconde, 85. Ces sommes sont justement dans le rapport des ebances ou des probabilités que les deux joueurs ont de gagner*

Quand le premier joueur gagnera, il recevra donc, pour' S francs qu'il a exposés, la somme de 90 francs, ^est«è-dlre son enjeu, plus celui de la personne avec laquelle il joue. S^il reçoit moins de 90 Ihines, le jeu n'est pas équitable, et il se fait à son détriment. C'est ce qui a lieu dans la loterie génoise : le

jouénr, au lien de 90 franes auxquels il aurait droit, ne reçoit qae 7K francs; les i5 autres firanes forment le bénéfice de l'entrepreneur des jeux.

On sait qu à la loterie génoise, un tirage comprend cinq numéros. Si, au lieu de jouer sur Vexfrait simple, on jouait sur V extrait déterminé , ou sur la sortie d'un seul iminéro a une place marquée dans le tirage, la première, par exemple, on n'aurait pour soi qu'une probabilité égale à et, en exposant un franc, on devrait recevoir 90 francs en cas de gain ; au lieu de cette somme, on ne reçoit que 70 francs ; donc le bénéfice de l'entrepreneur est de 30 francs.

Vambe, on la sortie de deux numéros désignés pour un même tirage, ne rend que 370 fois la mise, tandis que Ton devrait recevoir cette mise 400 fois environ ; car, avec les 90 numéros de la loterie, on peut faire 1,005 ambes en prenant toutes les combinaisons deux à deux; et avec les cinq numc^ros que l'on a choisis, on peut former lOambes; la probabilité de la sortie d*un ambe est donc

La perte du joueur, et par conséquent le bénéfice de l'entrepreneur qui exploite la loterie, devient plus considérable encore quand on joue sur le terne, le qmteme ou le quine. L'avantage de Tenlrepreneur, qui n'était que ^ pour l'extrait simple, s'élève, pour le quine, jusqu'aux ^ de toute la somme exposés.

On a nommé espérance mathématique le produit d'une somme qu*on espère, tiiultipUée par la prohahiblc qu'on a de Vobtenir. Aiiiii, quand on met sur l'extrait simple dans la vue de recevoir une somme de lî$ francs, l'espérance mathématique se calcule en multipliant 15 francs par la fraction ou ^\ qui exprime la probabilité de l'obtenir; on a donc \l d'un franc ou 83 centimes ; telle est la somme qu'il faudrait équitablement exposer au lieu de celle de 1 franc.

Jl flmt, dans Umie espèce de jeu w de pari équitable, que les espérances mathématiques des joueurs soient égales. Or, on a déjà pu voir combien, dans la loterie génoise, les règles de réquitésont peu observées è l'égard du joueur, et combien l'entrepreneur fait payer cher le plaiiir de jouer. On pourrait dire

34 TfiÉOaiB DES PIIOBAAIUTÊS*

de la loterie ee que Buffoa disait du pharaon, « le banquier a'esl qa*aii fripoi avooéi et le poate vue dope» donl on est cooTemi de ne pas se moquer ^* »

Les jeoi de basard se prêteni parfaitement Iden aux appllealions de la théorie des probabilités, et ebaque joueur peut se rendre compte de sa position, non-seulement en entrant au jeu, mais encore à chaque instant de la partie, de sorte que^ sMl corvenait aux joueurs de se séparer, ils sauraient comment ils doivent partager enli e eux les sommes exposées, en tenant compte de leurs posiiious respectives. Ces applications^ du reste^ sont plus curieuses qu'utiles.

Il n'en est pas de même, quand il s^agit des sociétés d'assurances ; ces sociétés différent essentiellement des maisons de jeux» surtout sous le rapport de la moralité. Des deux côtés on expose des sommes» mais dans des vues bien différentes : rassuré est généralement guidé par des motifs de prudence et d^éeonomie; le joueur au contraire par l^imprévoyance et la dissipation. Un pére de famille sans fortune prélèvera, sur les modestes produits de ses travaux, quelques faibles sommes qu'il déposera annuellement, dans la vue d'assurer, après son décès, une pension à sa veuve. Pour régler équitablement ce (|u'il doit payer, i) faut recourir à la considération des probabilités composée,s.

Ces sortes de calculs n'offrent pas de difticiiltés ; mais ils sont aussi variés que les combinaisons auxquelles se prêtent les sociétés d'assurances sont nombreuses; il en sera parlé plus loin daos'ce traité.

L'homme sage et prudent évite les jeux et les paris, lors même qu'il est sûr de voir observer toutes les règles de la plus stricte équité, surtout s'il s'agit d'exposer des sommes un peu eonsidérables. A côté de la question matbématique» en eflist,

< Euêi d'srilMIifitf mcrcff, cb. XU.

s^m piëmto ttne «Etre d*nB ordre plus élevé* rf aurioBS-EDQi pas droit do montrer à un ami qui expose la moitié de sa fèriane» quelles peuvent être les sEites de soo impradenceT Ne devrIODS-Bovs pas lof faire sentir que les privations qu'il devra s'imposer en cas de perte ne peuvent nullement être compensées par les avantages qu'il oblieul s'il ^agnc? Il ne suffit pas que les principes mathématiques soient strictement observés^ ceux de la morale doivent l'être également Si un homme me présentait un pistolet chargé, en m'invitent à jeter pile ou croix pour savoir qui de nous deux tirera sur l'autre, certainement je le tiendrais pour fou, et je n'aecepterais pas sa proposition, bien qu'il pût prétendre que les probabilités mathématiques d'être tué sont exactement les mêmes pour tons deux.

Lorsqu'il s'agit de sommes exposées, le préjudice en perdant estsans doute moins grand ; cependant 11 peutanssi, dans certains cas, compromettre noire existence, notre honneur. On ne doit, en général, exposer que ce qui peut èlre perdu, sans aucun inconvénient et sans que la fortune du joueur se trouve lésée : en d'autres termes, il ne faut exposer que des sommes minimes en comparaison de ce que Ton possède. « L'avare est comme le mathématicien, dit Buffon, dans son Emi d^aritkmétique moraU; tous deux estiment l'argent par sa quantité numérique, l'homme sensé n'en considère ni la masse ni le nombre ; il n'y voit que les avantages qu'il peut en tirer; il raisonne mieux que Tavare et sent mieux que le mathématicien. L'écu que le pauvre a mis à part pour payer un impôt de nécessité, et l'écu qui complète les sacs d'un financier n'ont pour l'avare et le mathématicien qae la même valeur j celui-ci les comptera par unités égales, Tautrc se les appropriera avec un plaisir égal, au lieu que l'homme sensé comptera Fécu du pauvre pour un louis, et Técu du financier pour un liard. » C'est dans ce sens, en eiïet, rju'il convient d'estimer l'importanee d^une somme en la comparant à ce qu'on possède; et cette miporkmee, çu^on nommé ia valeur morah, i'évalm 0H dm$0ni la somme par h bien que pouède ia per* soime qui Veaipou. Ainsi, 1000 francs pour celni qui n'en possède que 3000, ont la même importance morale que tH)0,000 fr. pour celui qui possède un million*

se THfiORIB DBS^ PROBABaiTfiS.

En adoptant celte manière de calculer^ on reconnaîtra sans peine que le jeO| réglé de la manière la pins équitable, ne peut être que défavorable k Pun et à Tautre Jonear. Pour rendre la chose plus sensible, je supposerai qu'une personne qui ne possède que 2000 francs, en expose 1000 au jeu de pile ou croix. La valeur morale de celte somme sera ^, tandis que la valeur morale des 1000 francs qu'elle obtient, en cas de gain, sera représentée par l seulement. Ainsi, par rapport aux 2000 francs que celte personne po-sède, l'imporlance de la somme exposée se trouve représentée par 1000 francs, et celle de la somme gagnée, par 666,67 ; il y a donc une différence de 353,33 francs entre l'enjeu et le bénéfice. C'est là le déiriment moral auquel s'est exposé le joueur.

Ce détriment peut, à la vérité, devenir trèa-minime, quand Targent exposé ne forme qu'une faible partie de la fortune dn joueur : aussi la différence entre les valeurs morales de la somme mise au jeu et de la somme espérée doit être considérée alors comme étant sensiblement nulle.

Ainsi, supposous que dans Texenipie précédent le second jonrur possède 100 000 francs; l'importance de In perte et celle du gain de 1000 francs seront représentées pour ce joueur par les fractions

^ooo^ . 1000^ on -i- et •

et la diminution de la valeur morale de sa fortune sera la différence de ces deux dernières fractions, ou bien de 100 000= 9,00 francs. Les positions des deux joueurs que

nous considérons sont donc bien difTérenles.

Il est facile de voir par les calculs précédents que tout jeu quel qu'il soit, lorsqu'on joue de la manière même la plus équitable, doii pro«hiire iin^ diminution dans la valeur morale de ia fortune. Celte diminution [leut devenir à la vérité presque insensible quand on n'expose que de petites sommes « relativement à ce qu'on possède. La prudence doit donc nous mettre en garde contre les jeux qui se présentent même sous les formes les plus équitables : cette règle que nous indique le bon sens, se trouve justifiée ici par le calcul.

LES CHANCES ÉfAM CONNUES.

On nomme apéranee maralê le produit de la valeur morale é^une iomme mullipUée par la probféilité qu^on a de ^obteiUr.

Ainsi, dans l'exemple des deux juueurs que nous venons de citer,

les probabiliLés de gagner étaient, toutes deux, égales à|; maïs les valeurs morales des sommes espérées étaient |~ pour le premier joueur, et , pour le second joueur : ce qui donnait, pour les espérances morales :

I de SOOO francs » 353,33 aa joueur, ^ de 100000 francs =i 495,03 au â« joueur.

En calculant les espérances malhémaliques, au lieu des espérances morales, on aurait obtenu 500 francs pour chacun des joufiirs. On voit, par les résultats préc^iiriits, que les deux joueurs ont du désavantage à exposer leur argent, niais le desavantage est beaucoup plus considérable pour le premier que pour le second, qui possède une fortune plus grande.

On peut être arrêté par une difficulté, quand il s^agît d'apprécier l'Importance d'une somme pour un individu qui actuellement ne possède rien. Mais 11 est à remarquer que, pour celui qui vit du travail de ses mains, ce travail même représente un capital qui forme sa fortune. Celui' qui mendie pour soutenir son exis-* leiice, trouve dans son état des ressources qu'il n'échangerait pas contre telle somme qifoii lui compterait annuellement, sous forme de revenu fixe. Il n\ a guère que le malheureux mourant de faim qui, puisse être considéré comme ne po^ssédaut absolument rien.

Les mêmes considérations devraient nous porter à ne jamais exposer notre fortune entière aux chances d'un seul événement. Si j'avais à transporter en Amérique une somme considérable, je ne voudrais pas la placer sur un seul vaisseau ; en cas de naufrage, je serais rainé. Si je divise la somme sur plusieurs vaisseaux ayant tons la même chance d'être détruits, je cours le

de sa fortune, au i""^ joueur; » au joueur.

ou bien

THÉORIB DBS PROBABILITÉS. '

risque de faire des pertes iNirtielles, mais je crains peu de voir se réaliser révéiieiQen( composé d'o^ dépendrai! la porte tolale de non avoir*

La pradenoe doit défendre également de placer tonte sa fortune entre les mains d'nne seule personne^ quelles que soient

les garanties qu'elle présente.

il ne faut pas non plus qu'un pays s'occupe exclusivemeuL d'un genre de culture. Si celle-ci venait à manquer, le désastre serait très-sensible ; tandis qu'en variant les genres de culture^ les chances de \oir manquer à la fois toutes les récoltes d'une année sont extrêmement faibles; le mal n'est senti que partiellement. Depuis que la nourriture du pauvre e&t plus variée» les disettes qui affligeaient si souvent nos aïeux, sont devenues à ' peu près impossibles. C'est un bienfait en màie temps qu'une conséquence des progrès de la civilisation.

Buffon, dont les écrits ont contribué à répandre beaucoup de jour sur la question qui nous occupe, présente l'exemple suivant pour mieux faire appréner combien, dans les jeux mèuie les plus équitables sous le rapport mathématique, la position des deux joueurs est également défavorable. « Si deux hommes s'avisaient déjouer tout leur bien, quel serait l'effet de cette convention? L'un ne ferait j[ue doubler sa fortune, et l'autre réduirait la sienne à zéro ; or, quelle proportion y a*t-il entre la perte et le gain? La même qu'entre tout et rien ; le gain de l'un n'est qn'égal à une somme assez modique» et la perte de l'antre est numériquement infinie, et moralement si grande, que le travail de toute sa vie ne suffirait peut-être pas pour regagner son bien.

f La perte est donc infiniment plus grande que le gain lorsqu'on joue tout sou bien; elle est plus graude d'une sixième partie lorsqu'on joue la nioilié de son Lien; elle est plus grande d'une vingtième partie lorsque l'on joue le quart de son bien ; en un mot, quelque petite portion de sa fortune qu'on hasarde au Jeu, il y a toujours plus de perte que de gain ; aussi, le pacte du jeu est un contrat vicieux et qui tend à la mine des deux contractants. Vérité nouvelle, mais très-utile, et que Je désire qui soit connue de tous ceux qui, par cupidité ou par oisiveté, passent Iw vie à tenter le basard.

LES CHANCES tTANT CONMjES. S9

« On a soiiYeiit demandé ponrqiioi Fon est ploa sensible h la perte qn'au gain ; on ne pondit faire à eette question une réponse pleinement satisfaisante, tant qu'on ne s'est pas donté de la

vérité que je viens de présenter; maintenaiil la réponse est aisée : on est plas sensible à la perle qu au gain, parce qu'en eCfet, en les supposant numériquement égaux, la perte est néanmoins toujours et n^ce?«:aîrpment plus grande que h gnin; le seiitiincnt n'est en général qu'un raisonnement implicite, moins clair, mais souvent plus fin, et toujours pins sûr que le produit direct de la raison. On sentait bien qne le gain ne nous faisait pas autant de plaisir que la perte nons cansail de peine ; ee sentimeni n'est qne le résnltet implieite dn raisonnement qne je viens de présenter. »

Ces eonsidérations seraient bien propres I modérer la enpidité

des joueurs, s'ils consultaient le moins du monde la raison^ avant de leiUer la fortune.

Il est des parties plus désastreuses que l'on entreprend quelquefois avec la plus coupable léint i ité; ce sont celles ((ue l'on joue sur des champs de bataille. Tristes conditions que celles qui exigent, pour enjeu, la prospérité des nations et le sang des bommes ; où le gagnant est celai qui réussit le mieux à détériorer la part qo'il convoite, sans qu'il puisse prévoir l'étendue des sacrifiées qu'il devra s'imposer pour l'obtenir !

lO. €mM«at il tmmt mvliaf er le ealeal te pra- Mllltéii. mu l'tocflorA enti^ U tkéorie et PexpérieBce»

Nous allons nous occuper d'une question importante, celle de savoir le degré de confiance qu'on peut attocber à un résultat donné par la théorie des probabilités. On se tromperait étrangement, si l'on ero^H que l'expérience vient toujours justifier les prévisions du calcul. Cet accord n'est en général qu'accidentel, mais on peut ftiire que la discordance devienne aussi faible qu'on le désire, eu égard à la nature des recherches dont on s'occupe.

Quand on ne fait qu'âne seule épreuve, il ne saurait jamais y avoir accord entre le résultat do calcul et celui de Texpérlence* Avant révénementi il n^y a que des probabilités pour on contre son arrivée ; et, quand Févénement s'est prodoit, les probabilités sont remplacées par la certitude. Ainsi, avant de prendre une carte dans on jeo ordinaire, J ai H pour probabilité (le prendre, une figure; et j'ai contre moi la probabilité U; cependant, quand la carte est tournée, ma position se trouve entièrement chanpjée; mes doutes ont fait place à la certitude; et, si j*ai pane pour révéncment, je sais (jue j'ai gagné ou perdu, quelle que soit la probabilité que j'avais en ma faveur.

Quand on fait un grand nombre d'épreuves, Taccord peut s'établir entre les résultats du calcul et ceux de l'expérience ; mais cet accord n'est pas nécessaire. Jacques Bemoolll a fait voir qu'en multipliant eotwenabUmenî k iiontère de* épreum, on peui atteindre à une probahiUlé aussi voinne de la certituide qu'on voudra, que la différence entre le» rémUate du eaïenleî ceuxde l'expérience sera resserrée dans des limites aussi élroilts qu*on voudra.

C'est ce que savent fort bien ceux qui établissenl des loteries ou des maisons de jeux de basard. Le grand nombre de joueurs qui viennent y exposer leur argent, laissent pour les entrepreneurs, malgré les fluctuations apparentes du sort, un bénéfice qu'on peut estimer d'avance, et qui est tout aussi fixe que les revenus du trésor. Ainsi, les Recherches itatistiquee sur Parie nous apprennent que, de 1816 à 18S0 indoslvement, la loterie de Paris a mis annuellement en circulation one somme d*enviroB ^5 millions de francs, sur lesquels le trésor recevait on peu plos

du tiUrirt.

Le gouvernement belge, en instituant des caisses de pensions pour les veuves et les orphelins des fonctionnaires publics, a lualheureusement perdu de vue ce principe important, que les prévisious du calcul ne peuvent marcher d'accord avec Texpérience si Ton n'opère sur de grands nombres. £n formant des caisses séparées poor cbaqoe branche du service public, et en s'Imposanl la condition de ne jamais leur venir en aide, il a moUiplié les chances des floctualîons auxquelles les caisses sont

LES CMAiNCES ÉTANT CONNUES.

néeessatrement assojetlies. H devienl très-peu ptoiMble que les espérances d'm père pourront se réaliser, au sujet de la pension de sa Temre ou de ses orphelins, quand une association ne

compte pas même une centaine de membres , comme il arrive pour le haul eiiseii^aemcnl. La suite iialurelle d'un parti! étal de choses est que certaines caisses devront prospérer pendant que d'aulres seront en souffrance ; celte inégalité sera néees^airemenl un grand mal, puisqu'elle atteindra des hommes que l'on devait considérer comme les membres d'une même famille.

C'est un principe très -simple et très-utile dans la pratique, que to précision de$ résultats croit comme ht racine carrée du nomkrê du absirva^ons. Ainsi, toutes choses égales d'ailleurs, les degrés de précision sont comme les nombres I, 5, é, etc., quand les observations sont comme les nombres, i , 4, 9, 1 6, etc.

Nous airons été curieux de soumettre ce principe ft Pexpérience en faisant jeter, dans une urne, vingt boules blanches et un égal nombre de boules noires, de sorte que la probabilité était la même, et égale à f , pour prendre soit une bouie blanche, soit une boule noire. Il semblait donc qu'après un certain nombre de tirages, le nombre des boules blanches sorties dût être égal au nombre des boules noires; ce n'est cependant pas ce qui est arrivé, comme on pourra le voir dans le petit tableau suivant, qui indique les résultats successivement obtenus après 4, 16, 64 tiragesi et plus. Il est bon de prévenir qu'après chaque tirage, la boule tirée était remise dans Tume, pour que toutes les circonstances de l'expérience restassent les mêmes.

NOMBRE de«

■OVLMTIJUtf.

DEGRÉ de

PIÉeilMHI.

NOMIU'vE DE BOCLF.S

BLAMCJUS. 1 nOIRES.

UAPPOUT des

Doalitt fricédinu.

THÊORIB DES PRÛBABILITËS.

La première colonne indique les nombres des boules Urées, et la seconde, les racines carrées de ces mêmes nombres. D'après le principe énoncé plus haut, ces racines expriment les degrés relatifs de la précision des résultats. Dans les deux colonnes SQîvaotes, se trouve rindicalion des boules blanches et des boules noires qui sont sorties de Fume; ces nombres devraient être égaux entre eux, si la théorie et l'expérience mnrchalenl rigoureusement d'accord. L;i dernière colonne nous laiL connaître le rapport des houles blanclies aux boules noires tirées; ce rapport devrait être i, mais un pnrei! résultat n'a été obtenu tiu uiie fois cl après i(i lir nges seulement. Cet accord n était qu'accidentel, tandis que nous remarquons, au milieu des oscillations des nombres, qu'il y a bien évidemment une tendance à se rapprocher de Tunité par la multipHcation des tirages.

Bnffon, dans son Emi é^ariikmétiquê nmaU, cite des épreuves semblables ffiiles par un enfant et qui ont produit des résultats analogues.