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n THÉORIE DES rAOBABlLlTÉS.

La date moyenne de la floraison peut être fixée au l"' maf pour îe lilas, au 2Î5 du même mois pour le seringat, et au 2 juin pour le faux ébénier : on voit, de plus, que l'erreur probabh^ de ces dates est à peu près la nicmf^, et ne va pas au delà d'un jour et demi. L'erreur probable est naturellement plus grande pour une observation isolée» elle est do 5 à 6 jours ; c'est-à-dire que, pour le faux ébénier» par exemple, il y a 1 contre 1 à parier qae It floraison aura lieu le 3 juia et que le retard ou Favanee n'eicédera pas 8 à 6 jours.

Bien que les trois plantes indiquées fleurissent à des époques différentes, on toit cependant qu*e1les accusent à peu près le même retard et la même avauce pour chaque aunée.

l'mpèce liviiuilnef croImMiiica «a ffoid» de

Il n*e8t peut-être pas d'étude où la théorie des probabilités trouve des applications plus intéressantes que dans les pbéno* mènes rdatlfs h l'homme. Une des plus curieuses, sans contre-

tiil, est la démoiisualion tlireclc de ruiiilc de Tespcce humaine et de la possibilité d'en assigner le type : entrons dans quelques détails à ce sujet.

Sup])osons qu'on veuille mesurer exactement la hauieur et les proportious de l'Apollon du Belvédère : dix personnes sont chargées successivement de ce soin ; il arrivera certatnementque les dix séries de mesures ne seront pas identiquement les mêmes; les différences seront faiblesi il est vrai ; mais enfin elles seront sensibles, dans l'hypothèse même qvl les séries auraient été prises par une même personne. Les différences seront plus grandes, s'il s'agissait de reproduire dix statues égales à celle de l'Apollon, parce qu'à l'incertilude des mesures, se joindraient les défauts de copie, les erreurs provenant du retrait ou de la dilatation des matériaux employés, etc. Si Ton supprimait ensuite le type primitif et si l'on avait à juger de sa liauteur et de ses proportions

APPLICATION AGX SClEiNCËS d'oBSëUVATION. 73

ptr Mlles des dix copies, il fasdrait rerenir à remploi des moyennes et l'on estimerait Terrear probable, e^est-lnlire qu'on rechereheraft de combien on a pn s^écarter du modèle primitif.

Que dire cependant, si les dix copies avaient été distribuées dans différenls pays pour devenir elles-inêmos les types de copies nouvelles? et si, après plusieurs siècles, il n'était donné do juger du type primitif que par les reproductions diverses exécutées d'après une ou plusieurs des premières copies qui ont cessé d'exister depuis? A toutes les incertitudes que noas avons signalées, viendraient se joindre encore celles qu'on a pu y intro* daire ponr se conformer è certaines exigences dn temps et des lieux. Il est évident qn'à la longue le type primitif se IrouTerait tellement altéré dans les copies, que la moyenne générale ne pourrait en donner qu'une Idée très-imparfaite. 11 faut cependant distinguer : si toutes les causes modificatrices aux différentes époques n'avaient été qu'accidentelles, et s*il ne s'en ilail pas trouvé de constantes ni de varial)k's dans le nombre, ces causes accidentelles n'auraient eu pour effet que de produire des écarts plus ou moins grands du type primitif représenté par la moyenae générale des copies, sans altérer le type même.

Il serait donc possible, aojourd'lmi, de reproduire le type qui a servi à toutes les copies que nous avons encore sous les yeux et que nous aurions à mesurer avec soin pour en déduire la moyenne générale. Vais par quel caractère pourrait-on reconnaître que les statues que nous regardons comme des copies d'un même type le sont véritablement ? C'est ici le lieu de se rappeler l'importante disliiictîon que nous avons établie entre une moyenne aritliniéiique et une moyenne proprement dite. Quand des nombres sont destinés à représenter une même chosCj et ne diffèrent que par des causes accidentelles qui ont pu les rendre indifféremment ou plus grands ou plus petits, alors ces nombres présentent des caractères tout particuliers, et quand on les classe par ordre de grandeur, ils se trouvent soumis k un classement calculable à prtorl. Le tout consiste donc à reconnaître si les mesures recueillies sur toutes les statues quVn a pu mesurer, présentent en effet ces caractères distincts.

L'expérience dont il vient d'être parlé a été faite, on a pu le re-

74 THtORIE DBS PROBABIUTÉS.

connaitre déjà. Les copies en qoesllon ne sont pis des statues^ ce soDt des êtres vmnU que nous avons sons les yeax el qne nous avons pu mesurer. Or^ il se trouve en effet que toales les mesures elassées par ordre de grandeur obéissent de la manière

la plus curîease à la loi des causes accidentelles. 1! existe donc

un type, du moins pour les pays que nos recherches ont pu embrasser. 11 resterait à reconnaître si ce l)pe est universel, en admettant quelques causes variables provenant de la différence des climats. Il semblernil en effet que les différences ne sont point essentielles vi (jue le Créateur, en laissant aux causes accidentelles une action si large, a placé à côté d'elles des lois conservatrices qu'ii n'est pas donné à l*liomme de pouvoir enfreindre.

Citons un exemple de ee qui vient d'être dit. On trouve dans on recueil médical d'Édimbourg les résultats de 8,738 me* sures prises sur les poitrines des soldais des différents régiments écossais. Ces mesures sont exprimées en pouces anglais et

groupées par ordre de grandeur, en procédant par différences de 1 pouce. La plus petite mesure est de 53 pouces environ, et la plus grande de 48; la moyenne de toutes les mesures donne un peu plus de 40 pouces pour la circonférence de la poitrine d'un soldat écossais : c'est aussi le nombre qui correspond au plus grand nomltre de mesures ; et, comme ia Ikkéorie rindique, les autres groupes diminuent de grandeur à mesure qu'ils s'éloignent de celui-ci; l'écart probable est de iP«"««,5t. On peut demander maintenant si ce serait exagérer que de parier I contre 1 qu'une personne peu exercée à prendre des mesures sur le corps humain va se tromper de 1p<»^,3I, en mesurant une poitrine de 40 pouces de circonférence. Ces mesures sont très-difficiles, car les variations produites sur la poitrine de l'homme par l'effet de la respiration s'élèvent certainement à cette valeur de %5!. En conséquence, les résultats de toutes les mesures prises sur les soldats écossais se sont distrî* bués, quant à l'ordre^de grandeur, de la même manière que se distribueraient B,75S mesures prises, sur un seul soldat ayant une poitrine de. 40 pouces de circonférence, par une personne peu exercée et dont Terreur probable serait de .

APPLICATION AUX SCIENCES D OiiSfciiiVAlION, 75

Le type litiiiuiiD^ pour des hommes d'ane même race et d'ao même fige, se trouve si bieo établi^ que Jes écarts oDtre les résultats du calcul et ceux de l'observation» malgré les nombreuses

causes accidentelles qui peuvent les provoquer et les exagérer, ne dépassent guère ceux que des maladresses pourraient produire dans une série de mesures prises sur un même individu. On rejette à la vérité des régiments les hommes qui sont déformés par un excès d'embonpoint ou de maigreur; mais en les admettant tous, on ne ferait qu'élargir les limites de Terreur probable» sans altérer la loi qui préside au classement des nombres.

Prenons un nouvel exemple relatif à la taille des conscrits français. M. d'HargenvIlliers, en faisant connaître comment 100 000 bommes se sont distribués par ordre de grandeur et par groupes différant entre eux de S7 millimètres, n'a fait qu*in-

diquer le total des conscrits ayant moins de 1™,570, et celui des conscrits ayanl plus de l'",7l$9 ; il s'en trouvait i28i)20 de la première catégorie, el 2i90 seulement de la seconde. Au moyen des sept groupes intermédiaires qu'il a donnés, il a été possible de reconnaître comment il fallait rétablir les huit groupes d'hommes compris dans le cas de réforme pour défaut de uille» et les sept groupes d'bommes ayant plus de i'^^TîiO.

On a reconnu, de plus, que l'écart probable était de (y^,0é9 ou de cinq centimètres environ* La loi de continuité des nombres montre aussi que deux individus seulement sur 100000 ont, en France, plus de i^m, et que quatre tombent au-dessous de la taille de l^^ySOT.

Cette même loi de continuité nous permet de reconnaître un fait plus remarquable; on pouvait le soupçonner, mais nous en trouvons ici la preuve : c'est que le nombre des réformes pour (I< faut de taille est exagéré de beaucoup. Non-seulement nous en avons la preuve , mais nous pouvons déterminer le montant de la fraude. Les documents officiels comptent hommes, sur cent millCi qui tombent au-dessous de l'»,570, et le calcul n'en donne que 26345. N'est-il pas à présumer que les âS75 hommes qui font la différence de ces nombres ^ ont été réformés frauduleusement? On le comprendra d^autant mleuxi

THÉORIE DES PRODABlLlTfiS.

qu'il est très-facile de diminuer la taille do deux à trois cenlîmètres, (juand on y a un intérêt aussi majeur que celui de la réforme. D'une autre part, les autorités 9ont indulgentes, lorsqu'il s*agit de. sobsliluer à des bommes lrès-|»eliis d^aatres bomoies qai ont une taille plus ayantageose. Cette coDjcetnre prend nn nouveau degré de eonaislaneei si Ton observe que 2275 hommes manquent dans les deux groupes qui arrivent immédiatement au-dessus de la limite 4"*, 570.

La loi des causes accidenlelles a encore le précieux avantage que, si Ton connaît le nuiubre des observalions qui concourent à lormer une moyenne proprement dite, et les limites extrêmes qu'atteignent les valeurs dans toutes leurs variations, on ppiit reconstruire la série complète de ces valeurs rangées par ordre de grandeur; par exemple, on a pesé 1000 enfants nouveaunés, et les poids ont varié de i à 10 livres, comment ees enfants doivent-ils être classés sous le rapport de la pesanteur? Le tableau suivant contient les résultats des calculs^ et l'on a placé dans une colonne suivante les nombres qui on t^éié obtenus réellement par l'observallOD; d'après H. Casaesser :

Nombre fl'en fan !s d'oprèi P«lds des ( i^raoïâ. le calcul. l'obtervitioD.

De 4 à 5 livres.

Ces résultats sont aussi concordants qu'on peut le désirer dans de pareilles matières ; les pesées en effet sont dilBclleSi et quand on doit les exprimer en nombres ronds, il est presque impossi-

hïe d obtenir une concordance parfaite.

Ce qui ûpparlieiU aux naissances cl à la fécondité de riionime eu générai ne présenlerail pas des exemples moins curieux. Sup-

APPLICATJOiN AUX SCIENCES D*OBSERVATION, 77

posoDS qu'oo ait à reehereher s^îl naît plos de garçons que de filles dans la viWe de Bruxelles ; il faudra nalurellemenl recourir aox registres de réi it civil. Si Tobservation avait commencé dèii 182y, on eût trouvé pour celle année 2004- naissances masculines el 4759 naissances féminines, ce qui donne le rapport H4 à 100.

Ce rapport très-grand aurait été fort modifié par les résultats de 4826; qui donnent iOI. Auquel faut-il croire ? Letton sens, d*aecord avec la seience, nous conseille de faire de nouvelles observations, et d'adopter provisoirement le résultat moyen 407, qu*on aurait obtenu en prenant tontes les observations recueillies.

La troisième année aurait encore modifié ce rapport, en le diminuant; on aurait obtenu lOG pour résultai des trois premières années d'observations.

En continuant à opérer de la même manière, au bout de la dixième année on aurait eu, pour le rapport cherché, 104 ; et, après 48 ans, 405. Ce dernier rapport, comparé à ceux obtenus pour chaque année prbe séparément, en aurait plus ou moins différé : les plus grands écarts en plus et en moins sont donnés par les années ISâtf et 1839, où l'on a eu les rapports iUet99.

La précision du résultat général i05, comparée à celle d*une année partîeallère , aurait été dans le rapport des racines carrées des nombres 18 et 1, d'après ce que nous avons déjà vu, ou comme est à 4 .

Bien qne la théorie indique, en thèse jzénérale, que la précision (les i L'suilals augmente avec le nombre des observations, îl peut se faire qu'accidentellement on tombe tout d'abord sur des résultats plus précis que ceux que l'on obtiendrait en ajoutant de nouvelles observations aux observations déj^ faites. Ainsi les résultaU particuliers des années i8â9, 1834, 4833, 1834, etc., ont tous également donné le rapport 105, et se sont plus rapprochés du résultat définitif que le rapport calculé sur Tensembledesobservations desdîxpremièresannées. Hais cette précision n>8t alors queVorlnite, et l'on n'a aucune raison pour pouvoir 8*y lier avec une probabilité suffisante.

78 THÉORfB DES PROBABILITÉS.

Si l'on continuait indéfinîmenl les observations, on ohtfendraîl un rapport qui tendrait de plus en plus à êlre égal au véritable rapport qu'on ignorait et dont la nature nous faisait mystère; nous savons même mesurer, à ebaqoe épreuvei Terreiir probable da résallati et apprécier Técart auquel o^ serait exposé dans une épreuve nouvelle.

l'lio]iiii|e# — Vablee de morf^lllé ; leuf iia»ge

La niorlalité s'estime en prenant le rapport entre le nombre des décès et le nombre des habitants d'un pays dans un temps donné, dans une année par exemple. On dit, dans ce sens, que la morlalilé de la Belgique a été, en 1850 et en tSMyde I sur 47 environ ; ee qui veut dire que, pour 41 babitantSi on a eomplé i décès. En 4849, la mortalité avait été plus forte; elle s'éUit élevée à 1 sur 56. La mortalité varieassez sensiblementd'aneiinnée à Tautre ; cet élément statistique est influencé par des causes nombreuses , mais plus spécialement par les grandes calamités publiques, telles que les disettes, le manque de travail, les épidémies, etc. Quand on prend en considération un grand nombre d'années, on reconnaît que le chiffre de la morlalilé oscille autour d'une moyenne générale conformément à la loi des causes aocidentelies ; cependant il existe aussi des causes, soit constantes, soît variables, qui modifient ce chiffre, telles que les progrès des lumières, de Tbygiène publique, de Taisance. On a constaté que, pendant le dernier siècle, la mortalité a diminué progressivement dans la plupart des États de l'Europe.

La mortalité n*est pas la même pour les deux sexes, pour l'babitant des villes et pour celui des campagnes, pour l'ouvrier des fabriques et pour i agricuUeur. Toutes ces nuances soûl profon-

* Ce chapttrâ e»L en grande panic la repioducUon de l'article Tablet de mortalilit que j'ai ItuM dii» I« tH^ontu^ 4ê réetiumie politique â» Flrtne*. On peut reconrir 11 ce dielioDnftîre, où Jt éma» les vingt priDoi|»«lti ttblei d« aMrialilè

éémeat màYquéeâ ûsùè les registres mortaairesi mais il n^en est •nenne qui ait plus d^infliieiiee qae Tâge.

Les nombreuses recherches faites sur ce dernier élément dans les différents pays civilisés ont conduit à construire des tables de mcrtalité, dont TimporlaDce justifiera les détails dans lesquels BOUS allons entrer.

Une table demorlaliléa pourobjet de faire connaître combien, sur QB Bomiire donné de naissances, il reste de survivants à la fin de ebaqtte année. De pareilles tables présentent un grand intérêt, BOB*settleiBeBt pour l'bygiène publique et l'histoire natarelle de rhooimei mais eneore pour les seienees politiques ; elles servent à doBBer la mesure de la valeur physique des nations et à résoudre la plupart des questions qui se rattachent aux sociétés d'assurances sur la vie, et aux caisses de pensions et de retraites.

Les plus anciennes recherches sur ce snjt t iiiiporlant paraissent dues h Johîi Graunt , qui les consigna, en 1661, dans ses annotations sur les bills de mortalité de la ville d»; Londres. Elles ne tardèrent pas à être fécondées par le calcul des probabilités auquel le génie de Pascal venait de donner naissance, car il est à remarquer que ces deux ingénieuses applications des seienees exactes firent presqtie en même temps invasion dans le domaine des sciences politiques.

11 existe, pour la formation des tables de mortalité^ deux méthodes bien dtsltnetes, mais que Ton a Thabilude de confondre : Tune, plus expéditive, emploie les listes mortuaires seulement; Tautre, rigoureuse et directe, emploie, avec les listes mortuaires, les chiffres de la population de chaque âge. Nous allons essayer de donner une idée de l'une et de l'autre.

Méthode des listes mortuaires. Elle admet implicitement l'hypothèse que la population de chaque âge reste annuellement la même, et que, par suite, les décès de chaque fige présentent, aussi) annuellement les mêmes chiffres; de sorte que les listes mortuaires ue foBt que se reproduire identiquemeat d'aBuée eB année; et que celui qui eu aurait une, connaîtrait nécessairement toutes les autres. Cependant eomme, dans la pratique, des circonstances accidentelles frappent parfois de préférence Fun ou autre âge^ on prend, pour éliminer ces anomalies fortuites,

80 THÉORIB DBS PROIIABILITÈS.

plusieurs listes annuelles dont on déduit une liste moyenDe^ représente alors la mortalité normale.

G'est,aiD$i que rastronome Halley construisit la plus aneienoe table de mortalité connue {TransacHom pMfosoplIîigms de Lmdr$$pwr 1695). Le savant anglais prit la ville de Breslau, en Silésie, pour type de ses calculs, parce qu'il avait reeomiu que la population y était sensiblement êtationnaire, c'est4i-dire que le nombre annuel des naissances compensait exactenieut celui des décès et qu'il n'y avait pas de mutations par suite d'émigrations ou d immigraiions j il lll donc l'énuméralion de tous les individus qui, pendant l'espace (le quatre ans (1687 h i69i), étaient morts entre 0 et 1 an, entre i et 2 ans,eatre2et5aa5j etainsîde suite jusqu'au terme le plus reculé de la vie. Il supposa que tous les Individus dont ii avait énuméré les décès, étaient nés en même temps, et il déduisit de leurs âges respectifs la loi d'après la* qoelle ils s^étaient successivement éteints. Il fit doue la somme de tous les décès et il en retrancha le nombre des enfants morts entre 0 et 1 an, le reste indiqua le nombre des survivants après la première année ; il relranclia de ce resle le nombre des enfants morts entre 1 et 2 ans, pour obtenir celui des survivants après la seconde année ; et ainsi de suite.

Toutefois la mortalité, pendant la première année, est sujette ù de grandes variations, c'est ce qui porta probablement llalJey à ne commencer sa table qu'après cette époque, comme on peut le voir dans le tableau de la mcftalité t^après fes prineipaies iable$ de mertaUU connues que nous donnons , d-après, page 87.

La méthode suivie par Halley fut adoptée par Smart, dont la table de mortalité, calculée d'après les registres mortuaires de

Londres, fut corrigée et publiée en 1742 par Simpson; elle fut également adoptée par Dupré de Sainl-Manr qui se servit des registres de trois paroisses de Paris et de douze paroisses de ia banlieue. La table de ce dernier savant, publiée eu 1767 par Buffon, a été rectifiée plus tard par Saint-Cyran.

Quand on recueille les données sur les registres mortuaires, il arrive presque toujours que les nombres ont besoin d'être corrigés ; et il en est de même de celles qui résultent du recensement

APPLICATION AUX 8€»N€B8 D*0B8EIIVATI0N. 81

d'une populalion. Ces corrections exigent beaucoup de tact et depradenoef Tune des principales provieni de ce que les gens da peuple ne déclarent presque jamais etaetement leur âge, quIlB ne connaissent d^aillenrs qu'approximativemenu Le déclarant préfère indiquer le nombre rond le plus voisin ; il en résulte que, pour les âges de 50 ou 40 ans par exemple, les cbiffres sont surchargés aux dépens des chiffires voisins; il conviciil alors de rétablir la coûliûuiLé par des calculs convenables.

Au lieu de prendre les registres mortuaires d*une ville ou d'un pays, des statisticiens ont préféré les registres de certaines associations d'hommes et ont suivi les individus un à un, depuis la naissance jusqu'au décès. Ainsi Kersseboom calcula une table de mortalité d'après les rentiers viagers de la Hollande ; et Deparcieux, en 1746, d'après les tontiniers de France.

Méthode direeiê. Elle consiste à séparer la population par âges et à calculer dîreclement la mortalité de chaque groupe. Ainsi, pour la France, on comptera combien d'individus ont moins d'un an, de un à deux ans, de deux à trois ans, etc. ; puis, combien chaque groupe produit annuellement de décès : les rapjiorls entre les nombres respectifs feront connaître la mortalité de chaque âffe. On part en général d'un nombre rond, 10,000 ou 100,000 par exemple, qui représente le nombre des naissances; ce nombre, après la première année , doit être réduit proportionnellement à la mortalité de cet âge. Le second nombre à son tour doit être réduit» après la deuxième année, proportionnellement i la mortalité des enfants de un à deux ans, et ainsi de snite. On voit que trois éléments doivent concourir aux calculs, les naissances, les décès par âges et la population par âges.

La méthode des listes mortuaires est beaucoup plus expéditive dans la pratique, puisqu'elle n'ciiiploie pour éléments de calcul que les décès de chaque âge, et qu'elle suppose le nombre des naissances égal à la somme de tous les décès. Aussi en a-l-on souvent fait usage; mais elle admet implicitement une condition qui se réalise rarement, c'est celle d'une population itaUonnaire pendant toute Tétendue d'un siècle.

Il ne suffit pas même que la population soit stationnaire,

8t TBÊORIB DES PROBABaiTÉS*

comme Pentendent quelques écrivains, c'est-à-dire que les naissances soient annuellement en même nombre que lesdécèe ; il teut encore que la mortalité ne se déplace pas*

An reste , dans certaines circonstances» une population peat cesser d^être stationnaire, sans que pour cela il deviente néeeasaire de modifier la table de mortalité, dédnite des senles listes mortuaires : il suffit, en général, qne la popalation aQgmente on diminue également dans toutes ses parties.

Un pays, par exemple, se trouve dans Paisance, et toutes les classes d'individus se ressentent de ce bien-être ; la mortalité diminuera pour tous les âges; il s'ensuivra naturellement que le nombre des adultes devenant plus grand, le nombre des naissances suivra la même progression. Dans cet état de choses, la table de mortalité restera la même; cependant la population n'aura pas été stationnaire , tout se passe comme si elle croissait progressiyement par reddition de certaines provinces ayant la même mortalité et la même fécondité.

Il est essentiel de remarquer cependant que, bien qne les cbiffires des décès donnent lieu à une table de mortalité identlqueiiienl la môme, les prévisions calculées primitivement doivent se trouver modiQées pendant les périodes subséquentes d'accroissement ou de diminution de la population; par exemple, la vie probable de Tenfant naissaiU, qui, d'après la table do Duvillard, serait de près de vingt ans, se trouverait allongée ou raccourcie, parce que, sur les 1000 nouveau-nés, il se trouverait, à vingt ans, plus on moins de 500 sarvivants, contrairement à nos prévisions.

Mais il n*arrive pas toujours que la population d'un pays soit croissante ou décroissante, dans toutes ses parties en même temps ; on remarque plus souvent que les accroissements, surtout, se produisent par des excès de naissances. Dans ce cas, qui est celui que présentent la plupart des États actuels, les listes mortuaires doivent donner lieu à des tables de mortalité trop rapides : c'est de quoi la Belgique présente un exemple assez frappant. Avant le recensement de i84S, on se bornait à l'emploi des listes mortuaires dans le calcul des tables de mortalité, parce qu'on regardaiti bien qu'à tort, la population comme

APPUGATiOIf AUX SCIENCBS D^OIMRVATION, 8S

nY^tanl pas suffisamment bien connue. Depuis celte époque, une table a éié calculée directement avec toutes les garanties d'exactitude qae comportent les tableaux statistiques de ee pays. On pourra voir, par la comparaison des deux tables^qae la morta- Htéy pour le premier âge, est sensiblement plus rapide dans Paneienne table que dans la nouvelle ; et, après l'âge de râgt ans y les deux tables marchent à peu près d*aeeord« On examen attentif des nombres qu'elles renferment prouve en effet que, depuis près d'un quarl de siècle, la population a crû dans une progression à peu près géométrique; et si elle était croissaiile avant celle époque, elle a dû l'èlre plutôt par une diminution de mortalité dans chaque catégorie d'âges; ce qui revient au cas meniiooBé précédemment*

TiBUt M HOaTALITtf