De la probabilité ei de la ceriitnde
Lorsque différente cas peuvent donner naissance à un événement on les nomme les ehancH de cet événement. Ainsi» le tirage d'une carte dans un Jeu ordinaire, présente 32 cbaneesy puisque l'on peut prendre indiiféremment l'une des 5S cartes dont le jeu se compose.
<}uaDd la nature de i^événement qu'on espère est désignée, il existe deux espèces de chances, les unes favorables et les autres contraires à l'événement espéré. Ainsi, celui qui désirerait prendre une figure dans un jeu de 32 cartes, aurait 12 chances pour lui ; et 20 chances lui seraient contraires.
Si toutes les chances sont favorablesi leur ensemble constitue la certitude.
On dit, d'une manière absolue, qu'un événement est probable, quand la plupart des chances sont favorables à son arrivéCi et qu'il est posB^le on peu probable, quand le nombre des chances contraires surpasse le nombre des chances favorables. L'événement sera douteux, si le nombre des chances favorables égale le nombre des chances défavorables.
On conçoit qne fous les événements ne sont pas égalemeni. ju obables. On estime la prohahiliié matiiematique en diirisani le nombre des chances favorables à l'événement, par le nombre total des chances. D'après ce principe, le tirage d'une figure dans un jeu de 53 cartes aurait, pour probabilité, la fraction ^; on a, en eVet, i2 chances favorables sur un nombre total de 53 chances.
La probabilité contraire à l'événement attendu s'estime de la même manière; c'est-à-dire, en divisant le nombre des chances
défavorables par le nombre total des chances. Ainsi, dans l'exemple précédent, la probabilité contraire à l'événement attendu est
En général, chaque événement incertain donne lieu à doux probabilités opposées, savoir ; celle que cet événement arrivera,
et celte quMI o'iirima pas : la somme de en deusprababUUés dof I être égale à runiié» L'anité devient aissi le aymbole de la eertitude»
L^appiicatîon de la théorie des probabilités ne présenterait
guère de difficultés, si l'on pouvait toujours éiiuiiiércr les diverses chances possibles, el si loutes ces chances étaient rigoureusement les mêmes. Mais il n'en est pas ainsi; et, dans ceriiiins cas, il faut beaucoup de sagacité pour ne pas commettre des erreurs graves dans ces sortes d'appréciations. De tous les jeux, le plus simple est sans contredit celui de pile ou croix, puisqu'il n'y a qoe deox chaoees possibles, et que la pièce doit tomber nécessairement sur Fane on Tantre de ses deux faces. La probabilité de cbacon des deux événements est donc ~. Cependant si la pièce n'était pas homogène, si elle était construite de manière à tomber plus facilement sur une face que sur l'autre, Il est évident que les deux probabilités ne pourraient plus être représentées respectivimeul par la fraction ^. Si la pièce, par exemple, tombait régulièrement deux fois sur une face, tandis qu'elle ne tomberait qu'une foi?; sur raiiire, on pourrait considérer le jet de cette pièce comme présentant trois cbances possibles, dont deux pour une face et une seule pour 1 autre face : les probabilités respectives seraient \ et ~.
Des joueurs frauduleux se ménagent des avantages semblables, en jouant avec des dés pipés* Quand un dé à six faces est bien construit, il doit pouvoir tomber avec une égale facilité sur chacune de ses faces : le jet de Tas, par exemple, doit avoir la même probabilité que celui de tout autre point. Cependant on peut altérer le dé, soit sous le rapport de rhuniogénéilé de la matière, soit sous le rapport de la forme, de manière à rendre la probaiiililé du jet de Tas aussi grande ou aussi petite que ïoa veut.
On conçoit qu'on pourrait jouer avec un dé semblable, pourvu que Ton pût tenir rigoureusement compte de Tinégalité des chances pour l'arrivée de chaque point.
La diflBculté que nous rencontrons ici, se reproduit à chaque instant dans raj^réciation des probabilités concernant les phénomènes de la nature. La dUlculté devient plus grande encore,
«n ce ^ne le dé, pour contiDUW notre comparaison, présente, non-seulement des faces inégales, mais en ce que Ton ne sailpas même combien il a de faces.
Telle est effectivement la condition dans laquelle nous met la nature, quand nous cherclions à sonder ses secrets et à évaluer les probabilités respectives des événements qui peuvent arriver. On croit souvent avoir tout prévu, avoir soigneusement éouméré les circonstances qui pouvaient se présenter, et l'on se trouve très^onné de voir, après Texpérience , que l'événement n'est aucun de ceux qu'on attendait. On dit alors qoe c'est le hasard qui l'a amené ; mais que signifie ce mot» sinon l'ignorance où nous étions que notre dé avait encore une face que nous n'avions pas aperçue et sur laquelle nous ne sup|)osions pas qu'il dut tombei / Le mot hasard sert officieusement à voiler notre ignorance; nous l'employons pour expliquer des effets dont nous ne connaissons point les causes. Pour qui saurait tout prévoir, il n'y aurait jamais de hasard; et les rvénemenls qui nous paraissent les plus extraordinaires auraient leurs causes naturelles et néeessaires^ comme les événements qui nous semblent les plus communs.
Une autre comparaison, puisée également dans la théorie du jeu, pourra nous prêter de nouvelles lumières. Supposons qu'on nous présente une urne remplie de houles qui ne durèrent entre elles que par la couleur, et qu'on demande la probabilité que la
première jjoule Urée sera blanche. Il csL évideiiL que, pour porter un jugement motivé, il nous faudra des renseignements préalables. Pour que ces renseignements soient complets, nous viderons l'urne el nous examinerons combien de boules de chaque couleur s'y trouvent contenues. Or, je suppose qu'il y en ait 2 blanches, 5 noires et 4 rouges, en tout 9 boules ; nous devrons répondre que la probabilité que la première boule tirée sera blanche, est f .
Cette évaluation, comme Ton voit, ne présente pas de difficulté, quand on peut s'assurer du nombre de boules que contient Pume, et de la manière dont ces boules sont distribuées sous le rapport de la couleur. Engénéral^ dans les différents jeux qu'on nomme jeux de hasard, le nombre des chances est limité et leur
THÉORIE UES l'ROliÀBILllÉS,
nature est comme; nnis il n'en esl pas de même dass ce 4|ai ee rapporte ma sciences d*ol>8emtion. L^orne est ouverte devant
nous ; il nous csl permis de faire autant de tirages que nous voulons cl lie liiiilliplier les épreuves à loisir, mais ce n'est que par induction que nous pouvons connailre ce qu'elle renforaie.
If faut donc s'appuyer sur des considérations nouvelles, pour estimer la probabilité d'un événement quand le nombre des chances est illimité, et que nous ignorons comment les cliances sont distribuées. Cet Inconvénient se présente malheureusement dans le plus grand nombre des cas qui doivent nous occuper, c'est-ànlire dans l'appréciation des probabilités des phénomènes sociaux et des phénomènes naturels.
D'après la distînetion que nous venons d*étabfir, l'ouvrage se partagera naturellement en deux parties : dans la première, nous parlerons des probabilités des événements dont le nombre et la nature des chances sont connm; dans la seconde, des probabilités «les éviMienients dont le nombre et la nature des chances sont inconnus, et qu'on détermine approximativement par Tobservation. Pour abréger, on distingue le plus souvent ces deux cas par les mots probabilités a priari, et probabilités a ^(aimwis c^est des premières que nous nous occuperons d'abord.
S. De la probabllilé aiailiéiiiaiique simple.
Nous venons de voir que, dans le cas où toutes les chances d'un événement sont également possibles, la probabilité mathématique s'estime en divisant le nombre des chances favorables à l'événement par le nombre total des chances. Ainsi, la probabilité de prendre un roi dans un jeu de 32 caries, est ^ ; la probabilité contraire est " ; et la somme de ces deux probabilités est ~ plus ou bien 4 qui représente la certitude. De là nous déduirons cette règle qiri/ sti/fit de soustraire de 1 la probabilité mathématique favorable à l'événement, pour avoir la probabilité contraire.
La prababtUlé malhéiiuitique d'un événement doit, d après ce qui précède, être exprimée par une fraeUon propremefii dii», puisqae le Bombre des chances favorables ne peut, en aucun cas, surpasser le nombre total des chances.
On conçoit que plus le nombre des chanees sera considérable par ra])poît au nombre total des chanees possibles, plus la probabiliiii de cet événement sera forte. La probabilité ~î est plus grande que la probabilité ou exprimerait, de la première manière, la probabilité mathématique de prendre une figure dans un jeu de 52 cartes; et, de la seconde, la probabilité mailiématlqae de prendre un des quatre a8. ,
Quand on yeui comparer deux probabilités mathématiques , il foui les réduire an même dénominateur; par exemple, on demande si le jet de Vas avec un dé à six faces est plus probable que le tirage d*une figure en trèfle dans un jeu de 32 cartes. Or, la première probabilité est |et la seconde^ ; les fractions réduites au même dénominateur donnent ^ et Le premier événement est donc plus pruliable que le second.
Le défaut d'habitude d estimer les probabilités des événe- ^ments, lait que nous nous trompons In plupart du terups sur ^ leurs valeurs; il nous faudrait, avant tout, un terme comparàbU qui pût servir à rectifier nos jugements. Le moyen le pins simple semblerait être de concevoir les chances favorables et détevorables, représentées numériquement par des boules blanches et noires, qui seraient contenues dans une urne; l'arrivée de révénement attendu serait assimilée ao tirage d'une boule blanche.
Exemple, Quelle est la probabilité de jeter Vas avec un dé à six faces? Comme nous n'avons qu'une seule chance sur six, la probabilité est la même que celle de prendre une boule blanche dans une urne qui contient six boules, savoir : une boule blanche et cinq boules noires. Ou bien encore, quelle est la probabilité de prendre un roi dans un jeu de 5â cartes? Gomme nous avons 4 chances favorables sur 52, la probabilité est ig, la même que celle de prendre une boule blanche dans une urne qui contient 32 boules, savoir : 4 blanches et 28 noires.
En faisant croître ou décroître, dans un même rapport, le
16 ntom DES t^ROBAfilLITÉS*
nombre des diances favorables ei ceiol de toutes les chances possibles, la probabilité reste la même. Ainsi, au lien de la probabilité on peut prendre la probabilité ^ qui lui est ^le. La probabilité de prendre une boole blanche dans une urne qui contient 3S boules, savoir : 4 blanches et S8 noires, est donc la même que celle de prendre une boule blanche dans une urne qui contient 8 boules, savoir : 4 blanche et 7 noires. Ce moyen de simplification qui dépend de la propriété des fractions, nous sera souvent utile.
Le mode que nous venons d'indiquer pour estimer la valeur des probabilités présente cependant un inconvénient; c'est qu'il nous serait assez difficile d'apprécier quelle grandeur doit atteindre la probabilité pour pouvoir être classée parmi celles que nous avons Tbabitude de considérer comme des certitudes. Le meilleur terme de comparaison semblerait être la probabilité de vivre encore un certain espaee de temps. Cette mesure nous sera plus sensible, par le prix que nous allaclions généralement à ia vie, que toute autre plus précise dont nous sommes rarement dans le cas d'user. Or, les tables de mortoliié que nous ferons connaître plus lard, oioiUrcnt que, sur un nombre donné de jeunes gens de 20 ans, le dixième a cessé d'exister au bout de 7 ans environ : ainsi, à cet âge, la probabilité de mourir dans Pespace de 7 ans, est ^; celle de mourir dans Tespace de 8 mois est de seulement. Le tableau suivant auquel on pourra recourir au besoin, fait connaître les probabilités de mourir dans un terme plus ou moins rapproché» .
Pr«btbilUè
JL
IQ t
10 ôoô
<a ooo 000 *
Ab iiiovrir tniit
7 ans.
8 mois.
55 jours.
60 heures.
6 heures.
56 minutes.
4 minutes.
â2 secondes, i seconde.
On conçoit que ces résultats ne peuvent être pris que d^une manière générale» et qu'ils ne sont pas applicables à un individa en particulier; qui serait actuellement bien portant. Il faut les considérer comme des probabilités que l'enfant qui vient de naître, s'il atteint l'âge de 90 ans, mourra pendant la pérwde désignée au lableau.
Supposons maintenant que Van cherche à savoir quelle est la probabilité qu'en prenant les lettres du mot Consiantinople, et qu'en les jetant enl'air, elles recomposeront le mot. On sait, par des calculs qui ne peuvent trouver place ici, que nos 14 lettres peuvent êtrearrangées de plus de 87 000 000 000 de manières différentes, en ne reproduisant que 24 fois le même mot, on
aurait donc pour probabilité du jet désiré
c'est-
tT 000 000 000>
à*dire nne probabilité moindre que celle de mourir dans l'espace d*aoe seconde, à l'âge de 20 ans. Or, nous ne faisons pas dilB* culté de regarder comme certain que Fenfant qui vient de naître,
s'il aiteiiU i'age de 120 ans, pourra compter encore sur une seconde d'existence; on peut donc regarder aussi coiiinie certain qu'on ne jettera pas du premier coup le mol Comtantinople avec les Icltres qui le composent.
ISous croyons pouvoir admettre qu'en général le jeune homme, arrivé à i*âge de âO ans, vivra encore 56 minutes, ou une demi-heure environ; or, cet événement a, pour probabilité contraire, la fraction Tm"^ 9 ^^nsl, nous regardons à peu près
comme certains les événcmenls qui ont, pour probabilités coninires, des fractions moindres qu'un niiiliuiiièmc; tel serait le liiuge d*unc boule blanche dans une urne qui contiendrait un million de boules, savoir : 999 999 blanches et 1 uoire.
