De la probabilité relative
Entre les diverses chances qui peuvenl amener un événement, rattenlion ne se fixe parfois qoe sur quelques-unes d'enlre elles^ en abandonnant Umtes les autres. Si Ton demandaiti par exem* pie, la probabilité de prendre, dans un jéa de 52 cartes, une figure ou bien un as ; on aurait trois événements possibles dont les probabilités seraient :
Il pour une figure, ^ pour un as,
H pour une carte qui n'est ni un as ai une figure.
Or, dans le eas qui nous occupe, le tirage d'une carte qui ue serait ni un as ni une figure devrait être considéré comme non avenu, et il faudrait regarder comme n'ayant de valeur réelle que
rrtetion h, Oft anrit «prêt un nombre m d'épreuves, les probabilités de tom le* événenMOtt compoU» ponU»lM» dtm le développement suivant du lûBèine :
La fracti(ni «* «tprimer* la probabilité qae révénemaat B te r^rodaira m foia de suite.
La terme mef^-^b exprimera la probabilité qoa l*èféii«iieat A se produira as— 1 Ibia et révéoemeiit B une foie»
Le terme ^-—^^ a* exprimera la probabilité que réfésamMit A te produira m— S fois, et révénement B deux fois» et ainsi de suite.
RMMrquoBt, de plas, que le soflUM de tooteelei probabiUtéa doit équivaloir b la certitude; ce qui arrive en effet , car a-ffr, somme des deuz probabilités contraires, vntjt l'on 'A, h quelque pui»Maee qu'on élève cette iomme dans le premier membre de l'équation.
Quand les deux probabilités a et 5 sont égales, il vient
âeHmUt Mntmml» jmtttlet «prdi un nombre m éT^fnuwi.
LES CHANCES LIANT CONiMES. 27
les probabilités et qui peuvent imeBer révénement attendu. Ces deux valeurs sont entre elles dans le rapport de Id à 4, ou de S à I. La probabilité de prendre une figure est done triple
(Je celle de prendre un as. Ce sont les valeurs relatives des probabiliiés des deux événements que l'on conipare.
Si dans une urne on avait 20 boules, savoir : 8 blanches, 4 noires, 5 rouges et 5 vertes; on aurait, pour le tirage, quatre sortes de chances dont les probabilités seraient
^ pour une boule blanche, ^ — noire, ^ — rouge»
{s — verte.
La soiunie de ces probabilités, comme dans Texemple précédent, doit valoir Tunité. Si Ton demande les probabilités rela^ tivis d'amener une boule blanche ou une noire, les valeurs seront respectivement ^ et ^ ; Tune est double de l'autre. C'est comme si les boules rouges et vertes n'existaient pas , et comme si l'urne ne contenait que 8 boules blanches et 4 boules noires : ce qui donnerait les probabilités relative ^ et ^,qui sont effectivement eommeâ est à i.
Prenons encore un troisième exemple. Quelles sont les probabilités de jeter avec deux dés 7, 8, 9 et 10 points? 7 points peuvent être amenés de six manières différentes avec deux dés, comme on peut s'en assurer par le petit tableau que nous avons donné plus haut, p. 19 ; car on peut jeter 1 et 6, 2 et B, r> et i, 4 et 3, 5 et 2, (i et 1 . De lueuje, 8 points peuvent être amenés de cinq manières; 9, de quatre manières; et 10, de trois manières seulement. On aura donc, pour la probabilité de ces sortes de chances, ea observant qu'il y a 36 jets également possibles :
^ pour amener 7 points è - 8 »
iî - » »
^ pour les autres points.
THÉORIE DES MiOMBILlTÉS
Nous voyons que la probabilité d'amener 7 points avec deux dés est relaChrement donble de celle d'amener 10 points : on a
tliVclivement six chances favorables au premier événement et trois chances seulement pour le second, sur neuf chances en tout, en omettant les autres ciiuuces qui ne font ni perdre ni gagner.
Quelquefois un événement dépend de plusieurs chances qui ne sont pas égakment })ossibles ; ii faut alors if^lerminer lesprO" babilitéê reipecims de ces chaneei^ et la probahiliié de l* événement aUendu u composera de leur somme. ÂinsI, dans l'exemple précédent, deux personnes pouvaient être amenées à parier, l'une qu'elle jetterait, avec deux dés, les points 7, 8, 9 on 10; et la seconde qu'elle jellLi iii un antre point quelconque. Or, d'après ce que nous avons \u, les quatre événements qui peuvent faire ga.ujner le premier joueur ne sont pas également possibles; les probabilités respectives des chances de ces événements sont ^, et dont la somme vaut ; c'est la probabilité que le premier joueur a pour lui, et elle est exactement égale à celle du second joueur.
La probabilité de prendre une figure on un as dans un jeu de 32 cartes vaudrait ^ plus ^, ou bien ^ ; somme des deux probabilités qu'on réunit en sa faveur.
Nous conclurons de tout ce qui précède qu'il Importe d'examiner, dans chaque question proposée, si l'événement attendu est simple ou composé; et si les chances qui doivent ramener sont louic6 également pobàible^ ou si elles ne le sont pas. Enfin, il faudra reconnaître si la probabilité doit être prise d'une manière absolue ou relative, c'est-à-dire si les chances favorables doivent être comparées à toutes les chances ou à quelquesunes ék particulier.
9. De quelques c»h partlciillerM tlu ealeul de 1» probablliié matliémaiiqiie.
En BOUS oecopant des épreuves répétées, nous avons supposé que le nombre des chances restait le même à chaque nouvelle épreuve ; mais cette circonstance peut ne pas avoir lieu. Ainsi, quelle est la probabilité que, dans deux épreuves, on prendra une figure dans un jeu de 52 cartes, si Ton ne remet pas la carte tirée la première foist On peut gagner de deux manières, soit en prenant une flgurc à la première épreuve, soit en prenant une figure à la seconde épreuve. Or, la probabilité ôv prendre une figure au premier tirage est ^. Quant au second tirage, il devient inutile, si l'on gagne au premier; il n'est donc pas rerlain qu'on doive le faire, et sa probabilité est ^ on cVst-à-dire qu'elle est égale à la probabilité qu'on ne réussira pas au premier tirage. Mais si ce second tirage a lieu, il doit se faire sur 51 cartes dont 12 sont favorables à notre attente. La probabilité de pren* dre une figure serait donc^, si Ton pouvait rei^arder le tirage comme certain, et il est | x |y , puisqnll n'a que | de probabilité. On a de cette manière, pour révénementqu^on espère, une probabilité égaleàf+fxH*
Prenons un second exemple. Une urne renferme deux boules blanches et deux boules noires; et deux joueurs A et B conviennent que celui des deux qui, les yeux bandés, tirera le premier une boule blancbe, gagnera. Ils doivent tirer alternaiivement, et A doit commencer; on demande la probabilité que chacun a en sa faveur, en supposant qu'on ne remelte pas lesboulps lirces? Au premier tirage, la probabilité de prendre une boule blanche est \ ou ^. Le second tirage n'est pas certain, il a pour probabilité ^, c'est-à-dire la probabilité que le joueur A aura pris une boule noire la première fois. Si le second tirage a lieu, comme il reste dans l'urne deux boules blanches et une noire, la probabilité de sortie d'une des premières sera |; et, dans le cas qui nous occupe, elle sera 1 x | ou bien î, parce que le second tirage
esl douteux. La probabilité de la sortie de la boule notre sera l <jon bien c^est aussi la probabilité du troisième
lirage. Mais comme, celle Iroisième fois, l'urne ne contient que des boules blanches, on a la certiludc d'en prendre une; il faudra donc multiplier 1 par - probabilité de faire le troisième tirage. Ainsi le joueur A réunit, en sa faveur, les probabilités ^-f-^, et le second joueur a la probabilité j : ces probabilités réunies valent 1, symbole de la certitude, comme on devait s'y attendre.
Voici un autre exemple qui, au premier abord^ offre quelque difficulté. On place, devant une personne, deux urnes dont l*une contient 2 boules blancbes et 8 noires et dont l'autre contient 3 boules blanches et une noire. Quelle est la probabilité de prendre une boule blanche dans l'une de ces urnes? La probabilité que la personne qui doit faire le tirage prendra une boule blanche dans la première ufue, dépend de deux événements, du choix de Turne d'abord et du tirage ensuite. Or, en supposant qu'il li'y ail pas de uiolifs de préférence, lu probabilité que la première urne sera choisie est ~; et la probabilité qu'on y prendra une boule blanche est|. La probabilité de prendre une boule blanche, dans la première urne, sera donc^x " ou bien \, La probabilité de prendre une boule blanche dans la seconde urne sera de même ~ x ^ ou bien |. Ainsi la probabilité de prendre une boule blanche, dans l'une ou l'autre des deux urnes, sera
Nous finirons par un exemple qui montrera combien on doit être en garde, dans le calcul des probabilités» contre les premiers aperçus. On croit assezgénéralemenlqu'enfaisantyao hasard» des tirages dans une urne renfermant nn certain nombre de boules» il est indifférent de parier qu'on en tirera un nombre pair ou un nombre impair. Cependant en pariant pour le nombre impair, on a toujours une chance de plus en sa faveur que si l'on pariditijour le nombre pair. Par exemple, si l'urne ne renfermait qu une boule, il n'y aurait qu'une chance, et elle serait favorable à celui qui aurait parié pour le iiombre impair. Si 1 urne renfermait deux boules a et 6» oa pourrait faire les trois tirages suivants :
a, b, ah;
les deux premiers tirages sont impairs» le troisième est pair*
Si l'orne reafermit trois boalds a, h et e, on pourrait faire les s^t tirages :
a, h, e, abc, abj ne, hc;
les quatre premiers tirages sont impairs; les trois deroiers sont pairs. Si l'urue renfermait quatre boules a, b, c tid, on pourrait faire quinze tirages
a, by c, d, abc y abd, acdj bcd; aby oc, adj bc, bd, cd, abcd.
Les luiil premiers tirages sont impairç; les sept autres sont pairs. £u |;éaérai les prolHibililés seraient les suivantes :
Probabilité de tirei
Nombre de boult;&.
un nombre impair, un oocnbie pair.
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