PROBLÈMES A RÉSOUDRE DANS L'APPUCATION BE LA SÉRIE

V* Le petit côté d'un triangle du cube donné, trouver son grand côté.

Multiplier le chiffre donné par ^2 = 1,4142.. par exemple. Il est donné k = 0,131687 et on a à chercher K; multiplier 0,13168 . . par 1,4142 . . et vous aurez pour K : 0,186234 . .

2*' Le petit côté d'un triangle du cube donné, trouver son hypoténuse.

Multiplier le chiffre donné par \/3'= 1,73205 . . par exemple. Il est donné k et il faudra trouver I ; on aura 0,13168. . X 1,73205 . . = I = 0,22808 . .

3" Le grand côté d'un triangle du cube donné, trouver son petit côté.

On divise le chiffre donné par l/2 = 1,4142, par exemple j^.^^'^^^" = k = 0,13168. .

4** Le grand côté d'un triangle du cube donné, trouver son hypoténuse.

On multiplie le chiffre donné par \/^= 1,2247 . . , par exemple K = 0,18623.. X d" = 1,2247. . = I = 0,22808..

5*" L'hypoténuse d'un triangle du cube donné, trouver son grand côté. Appelons l'hypoténuse donnée x, et nous aurons la formule suivante :

— 2^^ — ~ jL^ X X =z X X 0,316496.., c'est-à-dire a? X a; il faut donc multiplier I par a, pour

avoir K = 0,18623..

6* L'hypoténuse d'un triangle du cube donné, trouver son petit côté.

La formule pour celte opération est -yg = -yg X ^ = ^ X 0,57735 , c'est-à-dire x X Va A ; doue

I X Va A zz k.

7« et S"" Le grand côté d*un triangle du cube donné, trouver les grands côtés des triangles supérieur et inférieur.

Le premier des côtés demandés est l'hypoténuse du même triangle; on le trouve donc par la méthode exposée au n*" &' ; dans le second cas, le grand côté donné est l'hypoténuse du triangle décroissant suivant, dont on doit trouver le grand côté par la méthode indiquée au n* 5.

9° et 10° Le petit côté d'un triangle du cube donné, trouver les deux petits côtés des triangles supérieur et inférieur.

Pour le premier cas, multiplier ce chiffre donné par v/^/,z= d"; pour le deuxième cas, diviser le chiffre donné par la même valeur. Ainsi a X d" = 0,99999.. = U', et ^ = 0,6666. . = b.

Il*" Une valeur spéciale d'un monument donnée et désignée, trouver l'unité dont elle est dérivée.

Comme tout terme est le résultat de la multiplication de la valeur de ce terme dans la série générale avec

l'unité spéciale, on arrive à l'unité demandée en divisant le terme donné et désigné par le terme correspondant

de la série générale. On cherche l'unité du Parthénon en connaissant la valeur, par exemple, du terme

G = 3,773.. m., on doit diviser ce chiffre donné par celui de G=0,34213.. dans la série générale, et on arrivera à

3 773 *q/o = 11,028 qui est l'unité du Parthénon. — Au premier coup d'œil ce problème ne parait pas avoir de

l'importance, parce qu'on se dit c'est l'unité où on commence, mais en ne pouvant commencer qu'à une valeur connue on n'a pas besoin de chercher l'unité. C'est heureusement vrai pour la plupart des cas, mais il y a des ruines de temples qui nous fournissent beaucoup de valeurs de cotes ou de termes, par exemple dans des colonnes restées debout, tandis que leur cella, où nous sommes habitué à chercher l'unité, a complètement disparu. Dans des cas pareils, nous aurons besoin de la solution du problème du n*" 11, en prêtant par hypothèse des désignations certaines des termes aux valeurs qui nous sont restées. Plus on augmentera le nombre de ces termes désignés par hypothèse, plus on augmentera la vraisemblance d'avoir trouvé l'unité originaire, et par ce procédé on arrivera à la presque certitude. Ce procédé doit naturellement varier pour chaque cas spécial, mais ici il fallait donner la règle générale de laquelle il dérive.

12® Résoudre une quantité donnée dans les trois côtés d'un triangle du cube.

La quantité donnée soit 1,7320508.., cette quantité sera la somme de \/S pour l'hypoténuse, plus \/2

pour le grand côté, plus 1 pour le petit côté ; nous aurons donc l/3 = 1,7320508

et de là les proportions suivantes pour la recherche

de l'hypoténuse 4,1462.. : 1,73205.. =z 1,73205.. : x = 4,14626 = 0,72353

2d":=2,44949 du grand côté 4,1462.. : 1,73205.. = 1,41421.. : œ = 4,14626 = 0,59077

du petit côté 4,1462.. : 1,73205.. =z 1,00000.. : x = 4,14626 zz 0,41773

Somme des trois côtés 1 ,73203

On pourra abréger ce travail ; en ayant trouvé la valeur de l'hypoténuse» on cherche celle des côtés par les manières indiquées aux n"" 5 et 6. Lorsqu'on cherche les correspondants des chifFres trouvés dans la série, ce qu'on peut faire dans notre cas» parce que la quantité donnée de 1,73205 . . est égale à D", on obtiendra les chifFres approximatife pour l'hypoténuse trouvée à 0,72353 dans 2 e = 0,72577

le grand c6té trouvé à 0,59077 dans 2f = 0,59259 le petit côté trouvé à 0,41773 dans F = 0,41902

Les valeurs des termes ne sont qu'approximatives, mais cette approximation peut suffire quelquefois ; ainsi, quand il s'agira d'une exactitude moins grande, on pourra chercher dans la série le chifre le plus rapproché de la quantité donnée, chiffre à résoudre dans les trois côtés d'un triangle du cube, et en descendant au 31* terme (2e étant le 31* terme au-dessous de D") on aura l'hypoténuse, au 38* terme le grand côté, et au 50* le petit côté demandés. Notre opération nous apprend encore que chaque double d'un petit côté d'un triangle du cube nouvellement formé étant pris pour le grand côté de ce triangle, le grand côté du triangle originaire deviendra le petit côté du triangle nouveau, c'est-à-dire par la duplication, par exemple, du petit côté f, ces 2f auront la valeur du grand côté dans un triangle du cube dont F représentera le petit côté, et de même 7^^ deviendra le petit côté d'un triangle du cube dont f serait le grand côté.

13* Résoudre une quantité donnée dans les deux côtés d'un triangle du cube.

La quantité donnée soit 1,73205, cette quantité sera la somme de v/2 + 1» ce qui donne la somme de 2,41421 ; nous aurons donc les deux proportions suivantes : pour la recherche

du grand côté 2,41421 : 1,73205 = 1,41421 : x = ^^^'^ l'l\l^^ ^ ^^^^^^

du petit côté 2,41421 : 1,73205 == 1,00000 : x = ° " 2'41^l = 71744

Somme des deux côtés = 1,73205

Ici la -correspondance des chiffres trouvés avec des termes de la série est encore moins exacte; car U' + V2 D' donnent 1,7071 et 2 E + 2e donnent 1,7521 ; mais aussi l'opération est plus courte : on pourra donc bien la faire pour chaque cas donné. La distance de D" à U' est de 20 termes, de D' à V2 D' de 13, de D" à V^ D' de 32 termes.