LE TRIANGLE DD CUBE

En coupant par les quatre angle» opposés, en deox parties égales» le cube aâ? 6 dy c, fig. 1, pi. I, on obtient le parallélogramme abdc; lorsqu'on tire dans ce parallélogramme la ligne diagonale b Cy on aura deux triangles égaux dont les petits côtés sont des côtés du cube, les grands côtés sont les diagonales du carré du cube, et la ligne diagonale h c, commune aux deux triangles, est la diagonale du cube. Nous appellerons le triangle ainsi obtenu le triangle du cube, parce que tous ses côtés sont des dimensions du cube. Les angles de ce triangle ont :

L'angle situé à la rencontre du grand cAté avec Thypotéunse 35* 15' 51,8"

L'angle situé à la rencontre de l'hypoténuse avec le petit cAté 54 44 8,2

L'angle situé à la rencontre dn grand côté avec le petit cAté« 90 00 0,0

Le petit côté de ce triangle, égal au côté du cube, considéré comme unité = 1,000.. son grand c6ti sera, en sa qualité de diagonale du carré du cube, la racine de deux = 1,41421356219.., et F hypoténuse sera, en sa qualité de diagonale du cube, la ratine de trois = l,73905080rr5688..

Pour construire le triangle du cube, on n'a pas besoin de dessiner le cube. Voici une manière plus courte. On fait un rectangle cab^ pi. I, fig. 2, et on transporte la longueur a c, laquelle doit représenter le côté du cube ou l'unité, du point a sur la ligne a 6, on arrivera au point d; on mesure ensuite la longueur de l'hypoténuse ainsi acquise d c (qui est la diagonale d'un carré dont aceiad sont les côtés], et on transporte la longueur de cette diagonale du carré sur la ligne a & du point a. On arrivera au point b; en joignant les points 6 et c par une ligne droite, on aura dans celle-ci la diagonale d'un cube, dont de = a ( est la diagonale du carré, et ca est un de ses côtés, ou l'unité.

Ce triangle du cube est connu comme donnant des proportions d'architecture depuis les publications de M. Slieglitz. Dans la préface, à la première édition de son Histoire de farchitecture f), cet auteur dit : « Les anciens nous ont expliqué par des symboles la formation des corps ; ils se servaient de ces symboles pour rendre sensibles à la vue les lois de la nature; c'est Herder qui, dans son <c Document le plus ancien de l'humanité, » en donne des aperçus remarquables. Les recherches qui vont suivre étaient basées surtout sur les aperçus de Herder et sur ceux de Roeber. i> Quant à M. Roeber, M. Stieglitz ajoute dans une note : ce Roeber, dont je ne connais pas la résidence actuelle, était, dans le temps, architecte du gouvernement, à Dresde. II ne communiquait que verbalement ses recherches sur la formation des corps, et n'en a rien fait imprimer jusqu à cette heure. »

Ce peu de renseignements donnés par M. Stieglitz sur M. Roeber ne permet pas de savoir d'où celui-ci avait tiré sa science; l'a-t-il rencontrée dans d'anciens documents, l'a-t-il reçue par la tradition, ou l'a-t-il trouvée par l'examen des monuments?

Il nous reste des anciens documents écrits, comme ceux des chantiers (Bauhûtte) de Rochlitz et de Strasbourg, mais ces documents ne traitent que de l'état civil du métier, des droits et des obligations des maîtres, des compagnons et des apprentis, et de leurs rapports mutuels. Un autre document, publié à plusieurs reprises

D Geschichte der Daukunst vom fruhesien AUerlhum bis in die neueren Zeilen, von C. L. Sdeglitz. Nurnberg, 1827, Friedr. Campe 8*.

et en plusieurs langues, est le traité de Mathias Roritzer « sur les proportions des pinacles; n mais ce traité, publié à Nuremberg, ne date que de la fin du xv^ siècle, et nous y trouvons déjà^ appliquée au style ogival, la théorie arbitraire de Vitruve. Il ne reste donc que d'anciens dessins, notammentceux deralbumdeVillardd'Honnecourt, mattre picard du xiu'' siècle, récemment publiés, qui pourraient nous fournir quelques renseignements sur le triangle du cube, et encore, chose étrange, ces renseignements ne se rencontrent pas ici dans les dessins d'architecture, mais dans ceux des figures d'hommes et d'animaux, lesquelles Viliard d'Honnecourt a essayé de construire, pour ainsi dire, sur des triangles différents. Parmi ces triangles, se trouve aussi notre triangle du cube, dans la figure d'un mouton. Cet animal est inscrit dans un triangle comprenant la tète, le cou et le devant de la poitrine, et dans un parallélogramme contenant le reste du corps, sans les jambes et les pieds. En examinant ce triangle, on trouvera dans ses c6tés la proportion de l'unité pour le petit c6té, de la diagonale du carré pour le grand c6té, et de la diagonale du cube pour l'hypoténuse ; en même temps, le grand côté du triangle donne la mesure des côtés courts du parallélogramme , dont les côtés longs sont égaux à l'hypoténuse du triangle. Notre triangle du cube se trouve encore (mais ici il est moins régulièrement dessiné) dans le cou d'un cerf qui a été publié, parmi d'autres figures dudit album, dans le Moniteur des architectes, liv. xli, p. 487. Hormis ces exemples cités, je ne connais pas d'anciens documents, ni écrits ni dessinés, oii l'on en trouverait des traces.

Et cela à juste raison, parce qu'on considérait, au moyen âge, la science des proportions comme un secret qui ne devait pas être profané^ et cette science, probablement, n'était possédée que par des mattres du premier ordre. M. Léo raconte dans son Histoire universelle, et M. Kugler cite le fait dans la première édition de son Histoire de Vart, à la page 528, qu'en l'an 1099 l'évéque d'Dtrecht fut tué par un mattre architecte, parce que l'évéquc avait arraché ledit secret au fils du maître. Il est vrai qu'on a contesté l'exactitude de cette histoire» mais le fait même qu'on a cru pouvoir l'inventer, ne prouve-t-il pas la tradition vivante d'un tel secret? J'ai appris d'un maître marbrier allemand, versé dans les anciennes coutumes, une autre tradition d'un certain triangle fondamental des proportions, désigné à ses trois côtés par ces trois mots allemands : in, r on, zu, dont le premier devait signifier Cologne, le second Vienne, en Autriche, le troisième Zurich, villes célèbres toutes les trois par leurs chantiers ; et , en effet , ces trois villes forment sur les cartes un triangle auquel on pourrait trouver quelque similitude avec notre triangle du cube, similitude qui était peut-être encore plus grande dans les anciennes cartes inexactement dessinées.

Quoi qu'il en soit, je crois que M. Roeber avait pour guide une ancienne tradition, pareille à celle de mon maître marbrier, ou encore plus précise, qui l'aidait à trouver, ou qui lui apprenait même l'existence et l'appli* cation du triangle du cube enseignées par lui à Dresde. C'est M. Roeber à qui M. Stieglitz, comme il le dit luimême, doit sa connaissance. Dans ses différents ouvrages, M. Stieglitz a plus tard examiné et appliqué ce triangle. Il a trouvé que le petit côté ou l'unité, était toujours donné, dans les églises du moyen âge, par la largeur de la nef principale d'axe en axe des piliers ; que cette mémo unité donnait, dans les églises allemandes, la hauteur de la porte principale jusqu'au sommet de son ogive, et que la hauteur principale était égale ou à un des côtés d'un triangle du cube résultant de la largeur de la nef comme de l'unité, ou qu'il fallait composer deux des côtés du triangle, soit l'unité avec la diagonale du carré, soit cette dernière avec la diagonale du cube, pour arriver d'en bas jusqu'à la base du pignon.

M. Stieglitz était dans le vrai ; mais, comme il n'avait que trois mesures pour des proportions dont les variatiens sont nécessairement très-nombreuses, on n'a pas accepté sa théorie. Ainsi, M. Boisserée, dans sa Mono^ graphie de la cathédrale de Cologne, s'est prononcé pour le triangle équilatéral, tandis que M. Hoffstadt, dans son Abécédaire gothique, a pris le carré et des polygones qui en sont formés, pour des figures fondamentales des

proportions. M. Murphy, dans son Église de Batalha^ en Portugal, cherche des analogies entre les proportions da corps humain et entre des parties de monuments. D'autres ont cherché enc<H*e autre part. Ces recherches même reprises, développées et publiées tant de fois, par tant de savants, dans tous les pays civilisés de l'Europe, n'indiquent-elles pas déjà, par leur fréquence, le besoin de s'expliquer le fait que les constructions de nos ancêtres avaient pour base un principe bien arrêté auquel nous sommes, pour ainsi dire, forcés d'attribuer les proportions harmonieuses qui nous Arappent comme caractère général et comme caractère indélébile de leurs ouvrages?