LES TRIANGLES SEMBLABLES DÉRIVÉS DU IHIANGLE DU CUBE

En relevant l'église de Sainte-Elisabeth, à Cassovie, en Hongrie, j'ai pu constater l'exactitude des observations de M. Stieglitz; mais, pour arriver à un résultat plus satisfaisant, il fallait chercher si, de ces trois' c6(és du triangle du cube, on ne pouvait en développer d'autres pour des membres de dimensions plus petites, tels que piliers, contre-forts, épaisseurs de murs, etc., etc. J'ai été encore poussé à ces recherches par mon ami, depuis décédé, M. Ch. Froemberg, architecte de talent, qui, par un sentiment inné pour les bonnes proportions, avait la foi vive dans le secret, sans en deviner même la clef. C'est qu'une telle foi aime à se communiquer, surtout quand elle se rencontre avec des besoins comme ceux que j'avais, de me rendre compte des choses inexplicables, lesquelles se représentaient toujours pendant mon travail. A c6té de mes propres relevés de l'église de Sainte- Elisabeth, j'avais ceux des ruines d'une église à Zsambék, village situé à quelques lieues de Bude. Cette église a été relevée avec beaucoup de soin, par des architectes de-Pesth, MM. Gerster, Feszl et Kauser, qui en ont fait des dessins sur une très-grande échelle, et qui ont bien voulu me communiquer et les dessins et les cotes du relevé. Pendant l'étude longue et très-détaillée de ces deux monuments de ma patrie, j'ai été frappé de ce que les proportions du grand triangle du cube de l'unité, revenaient amoindries dans différentes parties. Il était donc évident qu'il devait nattre, de ce grand triangle, des triangles semblables plus petits; mais la grande question était celle-ci : où faut-il commencer? Cette question était d'autant plus difficile à résoudre, que, comme on le verra dans la seconde partie de cet ouvrage, les maîtres du moyen Age ne procédaient pas aussi logiquement que les maîtres anciens classiques, et, encore avant eux, les maîtres de l'Egypte. Or, dans ce temps, je ne me suis occupé que des monuments du moyen ftge, ne rêvant pas même qu'une théorie des Égyptiens aurait pu se propager par l'intermédiaire des Grecs et des Byzantins, jusqu'à l'ère chrétienne.

II en était ici comme de la plupart des découvertes; j'ai trouvé enfin la loi dans le problème le plus difficile à résoudre, comme je l'ai reconnu depuis, c'est-à-dire dans l'explicatioa de la construction très-compliquée des contre-forts de l'église de Sainte-Elisabeth, à Cassovie. En exMninant avec des reprises innombrables le plan de ces contre-forts, j'ai reconnu enfin que la retraite de leurs pinacles superposés liait réglée par des grands côtés des triangles, dont le plus petit natt toujours de son triangle voisin plus grand, en prenant le grand côté de celui-ci pour son hypoténuse.

La fig. 2, de notre pi. I, explique cette méthode. Soient befh triangle du cube dont efest l'unité, bf\a diagonale du carré, et ( e la diagonale du cube ; lorsqu'on transporte la longueur de la diagonale du carré, ce qui est le grand côté b /*, sur la diagonale du cube qui est l'hypoténuse (e, on arrive au point c; si on fait tomber de ce point c une ligne perpendiculaire en a, on aura le triangle, a 6 e qui est semblable au triangle b ef dont il est dérivé, et dont il est le diminutif dans une certaine proportion. Au contraire, si on prend pour point de départ le triangle a b c, et si on veut construire le triangle voisin plus grand, on doit allonger son grand côté ( a et son hypoténuse be; on doit transporter ensuite la longueur de l'hypoténuse bc sur la ligne allongée du

grand côté. Oa arrivera ainsi an point f; de ce point, il fant élever une ligne perpendiculaire» laquelle joindra la ligne allongée de Thypoténase en e et formera par cela le triangle semblable, supérieur ou plus grand hef. Dans cette figure, le triangle a A c, par rapport au triangle plus grand ehfj est décroissant, et rke versa, le dernier est croissant par rapport au premier. Nous appellerons, dans la suite, les triangles semblables qui sont plus grands que le triangle fondamental^ composé de l'unité, de la diagonale du carré et de la diagonale du cube, des triangles croissantSy et ceux qui sont plus petits que ce triangle fondamental des triangles décroissants. Par rapport à ses deux triangles voisins, chaque triangle est en même temps décroissant et croissant.

La troisième figure de notre planche I, nous donne une suite des triangles semblables du cube inscrits dans le grand trianale abc. Dans cette suite, ce ne sont que les deux côtés des triangles qui comptent, parce que Thypoténuse d'un triangle est toujours égale au grand côté de son triangle voisin supérieur. C'est ce qui nous permet de simplifier les dénominations des côtés, et de les désigner par une seule lettre ou par un seul chiffre, lettre petite à l'exception de l'unité fondamentale, chiffre arabe pour les petits côtés ; lettre grande ou chiffre romain pour les grands côtés. Ainsi a nous indiquera la ligne a A de la fig. 3, ou le petit côté du triangle décroissant voisin du triangle fondamental ; b nous indiquera le petit côté du triangle décroissant suivant ; de même, A nous indiquera la ligne A 6 de la fig. 3, soit le grand côté du premier triangle décroissant , B le grand côté du second triangle, C le grand côté du troisième triangle décroissant, etc., etc.

Il y a deux triangles, dans cette suite, dont les côtés ont plus d'importance que les autres ; c'est pourquoi je les ai distingués par une dénomination spéciale de leurs côtés , savoir : le triangle fondamental et le premier triangle supérieur croissant. Dans le triangle fondamental, le petit côté est marqué par exception avec une grande lettre U' (initiale du mot unité) et le grand côté, savoir la diagonale du carré, par D' (initiale du mot diagonale}. De même les deux côtés du premier triangle supérieur sont marqués, le grand côté étant la diagonale du cube de D", et le petit en correspondance avec le grand de d". Pour distinguer les lettres de ces quatre côtés des mêmes lettres des autres triangles, l'unité U' du grand côté U du vingtième triangle décroissant, la diagonale du carré et du cube D' et D" du grand côté D du quatrième triangle décroissant, j*ai ajouté à ces lettres des cédilles doublées pour désigner la diagonale du cube , pour la distinguer de D* avec une simple cédille, de la diagonale du carré, et doublée dans le petit côté d" pour correspondre à la double cédille D" du grand côté du même triangle.

A partir du premier triangle croissant, les côtés des autres triangles sont désignés par des chiffres arabes et romains, pour les distinguer, à première vue, des lettres des côtés des triangles décroissants; ainsi le petit côté du deuxième triangle croissant est désigné par le chiffre i, du troisième par le chiffre 2, tandis que les grands grands côtés de ces triangles sont désigaés par les chiffres romains correspondants I et II.

Avec notre alphabet, je n'arrive qu'à la désignaÉK)n des côtés de 25 triangles décroissants; il y a pourtant des parties architecturales plus petites ^encore que les côtés du 25* triangle bzZ décroissant ; il fallait donc, pour nommer les côtés des 26% 27*, etc., etc., triangles, ajouter des accents aux lettres répétées de notre alphabet. Ainsi on trouvera pour le petit côté du 26* triangle décroissant a', pour son grand côté A', pour le 32* g' et G', etc., etc.

Il s'agit maintenant d'établir les valeurs des côtés des triangles croissants et décroissants. Chaque côté du deuxième triangle, dans la suite des triangles décroissants, est égal à % du côté de la même dénomination du second triangle supérieur ; nous n'aurons donc besoin, pour calculer, quel que soit le côté, que de quatre valeurs primaires, soit de D" = 1,7320506.. et D' = 1,4142135.. pour tous les grands côtés, et de d" = 1,2247448 et 1]'=: 1,0000 . . pour tous les petits côtés. Soit que nous ayons A chercher la valeur en chiffre du grand côté A, il fiiudra prendre Vs de D" = 1,154700..; soit qu'on ait à chercher la valeur du grand

c6lé B, on prendra Vs de D' =0,942809.. Ainsi la valeur de C sera 73^ = 0,769800.'., de D V, de B = 0,638530; de même pour les petits côtés on trouvera la valeur de a égale à Va d" = 0,816496 . ., la valeur de b à Vs 17 = 0,666666. . , la valeur de c à Vs a = 0,544335. . , etc. , etc.

Veut-on, au contraire, chercher les valeurs des côtés des triangles croissants, alors on prendra Va des valeurs du même côté dans le deuxième triangle inférieur ; ainsi le petit côté 1 est égal à V^U' = 1,500.., le petit côté 2 est égal à Va d" = 1,837117 . ., le petit côté 3 est égal à Va de 1 = 3,2500. . ; de même pour les grands côtés, I sera égal à Va D' = 3,121320.., II sera égal à Va D" = 2,598075, etc., etc.

Par la méthode algébrique on peut arriver à trouver la formule pour la valeur des côtés de chaque triangle, si éloigné qu'il soit du triangle fondamental, sans avoir recours à la manière par degrés exposée ; mais, comme il ne s'agit ici que du côté pratique, la suite des valeurs des côtés donnée ci-après, laquelle, à ma connaissance, n'a jamais été dépassée ni même atteinte, suffira parfaitement à l'usage des architectes.

Valeurs des cotés des triangles semblables dérivés ou triangle do cube.