LA SÉRIE DËRIVËE DES TRIANGLES SEMBLABLES

Les côtés des triangles semblableSy mis l'un après l'antre d'après leurs valeurs, présentent une suite qui n'a pas des proportions continues , par exemple :

C'est-à-dire la valeur du petit côté est beaucoup plus rapprochée de la valeur du grand

côté du second triangle décroissant (2 de D") que ne l'est la valeur de ce grand côté de la

2 = 1,837117 valeur du petit côté du premier triangle supérieur (D" de 1); donc il n'y a pas de série

""^ [ propre. D'un autre côté, cette espèce d'échelle ne pouvait fournir assez de valeurs, assez

1 = 1,500000 de nuances à l'architecture. Je m'en suis aperçu dès le premier moment de la découverte

~ | des triangles semblables , ayant trouvé que les anciens employaient des fractions et des

d" = 1,224744 multiples des valeurs des côtés. Du premier abord, j'ai cru que ce n'était que pour combler

* simplement les vides, comme nous en voyons entre I et 2, entre D" et 1. Mais il y a mieux

que cela, la série est parfoite r elle est dans des rapports carrés, cubiques, bicarrés, etc., etc.

En voulant combler les vides, on se servira des proportions arithmétiques. Par exemple : D* : 1 = 1 : j?,

c'est-à-dire 1,73205. . : 1,15000 = 1,15000 : ^ ou 3/2 divisé par racine de trois.

On trouvera x = 1,29903.. ; mais cette somme est égale à la moitié du grand côté du troisième triangle

croissant , c'est-à-dire Vs II ^t aussi égal à 1,29903 ;

Et cette somme doit prendre, d'après sa valeur, la place entre A et IT dans l'échelle ; par conséquent, nous

aurons VsIU ontre D' et d" et V^IV entre I et 2 : voilà notre échelle augmentée de trois membres ; avec cette

augmentation, elle se présentera comme il suit, à gauche :

1 =r 2,121320 ^^ continuant notre intercalation proportionnelle, nous

1/ lY = 1,94855 établirons, par exemple, la proportion 1 : D' = D' : ^ ou

1,5.. : 1,4142.. = 1,4142.. : ^, ou pour abréger le travail,

V^UI =rr,59099

1 =rr,5oooo

D' =rr,41421

VaU =^,29903

d" =rï^22474

comme D' est la racine de deux ~-|t = U^'^-

mais cette

Va 5 = 1,68750

Va III = 1,59099

VjII = 1,29903

somme est justement le double de b et se placera, d'après sa valeur, entre D* et V3 II ; de même la somme de i a se placera entre D" et '/s UL Avec cela, nous avons trouvé la place des doubles des petits côtés, comme nous avons trouvé précédemment la place des moitiés des grands côtés. La conséquence logique demande, si une fois on place les doubles des petits côtés, d'en faire autant des doubles des grands côtés, et de même, si on place les moitiés des grands côtés, d'en faire autant des moitiés des petits côtés, et par cette opération nous gagnerons l'échelle qui est à droite.

Dans notre dernière échelle, il n'y a plus que deux vides où la continuité de la proportion est rompue; ce sont les videsentre 1 et D* et entre d" et A. Pour les combler, on établit 2C : 1 = 1 : jî ou 1,5396. : 1, 5. . = 1,5. . : a?, on trouvera œ = 1,46141.., ce qui est le même que V4 VI. Ainsi on a encore à prendre les quarts des grands côtés pour compléter la série, dans laquelle on n'a plus besoin des quarts des petits côtés, qui, du reste, ont presque la même valeur que les doubles des grands côtés du quatorzième triangle inférieur; ainsi, par exemple, %S est égal à 1,2656 et 2D est égal à 1,25707. Voici donc la limite extrême à laquelle nous sommes arrivé dans l'établissement de notre échelle, qui, par cette dernière opération, est devenue une série complète.

n est impossible de savoir aujourd'hui si le prêtre égyptien qui, dans ses constructions architecturales^ s'est I. 2

servi le premier de ia série citée, l'avait trouvée par le procédé que nous avons employé, ou s'il y est arrivé par une autre méthode ; mais je constaterai par des cotes qu'on a employé notre série déjà dans la construction des tombeaux de Béni-Hassan, remontant au temps de la xii* dynastie des Pharaons, c'est-à-dire à plus de deux mille ans avant notre ère. Moi-même je n'ai pas trouvé la série par la méthode indiquée ci-dessus» mais en rangeant d'une manière simple les valeurs des côtés des triangles du cube, ainsi que leurs fractions et leurs multiples, au fur et à mesure que j'ai rencontré ces valeurs employées dans les monuments. Aussi n'avai»-je opéré au commencement que par le dessin, n'établissant que plus tard, et quand j'étais déjà sAr de mon fait, les formules algébriques d'où découlent les deux différentes séries de l'antiquité et du moyen âge.

On a fait ce reproche à la série donnée, que les différences entre ses termes voisins étaient si petites, qu'on pouvait y trouver tout ce qu'on y cherche, et qu'en prouvant trop je ne prouve rien : Qui muHum probat^ nikil probat. Cette objection a quelque apparence de vrai, mais elle pèche justement par le défaut qu'elle cherche à trouver à la série, c'est-à-dire qu'en disant trop elle ne prouve rien. J'admets bien qu'en descendant aux minimes valeurs de la série les différences des termes deviennent enfin imperceptibles ; ce n'est pas la foute de la série, mais celle de nos sens limités et de nos moyens imparfaits d'exécution. Je ne pourrais pas insister, par exemple, pour un filet de quelques millimètres, s'il est pris à la valeur, par exemple, de F = 0,0026, ou plutôt à la valeur de Vu ^' = 0,0025 ; je ne suis pas tout à foit sAr quand il y a beaucoup de petites subdivisions qui composent une somme générale , par exemple dans les corniches, si la pensée originaire était de chercher cette somme comme entière dans les termes de la série, ou si on a plutôt cherché la valeur de chaque membre à part dans cette série, et si on n'a que tâché de s'approcher avec la somme de ceux-ci d'un certain terme de la série. Cependant , quand on voUjnaintes fois revenir l'emploi du même terme pour les parties de la même dénomination dans la même école, par exemple pour les diamètres des colonnes dans l'école attique ; quand on voit que les termes voisins au-dessus de l'unité, surtout dans les grands monuments, diffèrent de plusieurs décimètres; enfin, quand on voit que, même pour les membres minimes, on s'est tenu à un certain nombre restreint de termes qu'on n'a pas dépassé dans la même école, on ne pourra plus attribuer au hasard ou au sentiment d'harmonie artistique un tel accord incontestable, une telle régularité frappante ; on ne pourra plus parler d'une série qui, par des différences inappréciables de ses termes, permet d'y trouver tout ce qu'on y cherche. Il y a un autre fait, c'est que la série des maîtres du moyen âge s'est écartée, par une erreur de dessin, de la série des anciens. Cette erreur a commencé avec les Byzantins et s'est propagée par la tradition pendant toute la durée du moyen âge jusqu'à l'extinction complète de l'usage de la série. Cette erreur, pour me servir d'un exemple, ne porte que pour la troisième décimale dans le premier terme au-dessus de l'unité, qui est naturellement la même dans les deux séries ; Terreur dite y produit la différence de t^^t^ , et pourtant je n'ai Jamais

pu arriver, et personne n'arrivera d'une manière satisfaisante à analyser les monuments du moyen âge i l'aidQ de la série antique, et vice versa. C'est que, dans notre grammaire, nous trouvons aussi assez souvent des «mbiguïtés comme exceptions de la règle ; mais on sait que la règle est confirmée justement par ses exceptions. On n'est pas d'accord sur tous les points de la lecture des hiéroglyphes, pourtant toute personne qui s'en es) un peu occupé ne dira pas qu'on ne sait pas du tout les lire.

Enfin il y a une raison majeure qui milite pour notre série, à savoir celle que cette série a sa raison d'être dans elle-même, étant quelque chose, pour ainsi dire d^organique^ qui est dérivé d'une même base fondamen* taie, et que ce développement se fait par une certaine loi de proportionnalité déterminant tous les termes crois* sants et décroissants. Cette série, prise pour base de détermination des proportions dans tous les temples de^ Grecs , des Égyptiens , etc., etc. , nous permet de comparer leurs proportions avec incontestablement plus

d'exactitude que pourrait être la comparaison basée sur la manière arbitraire de détermination par le module des colonnes.

Le caractère éminemment organique de notre série se développera de plus en plus par son application dans les analyses des anciens monuments. Voici la composition de la partie de cette série qui nous servira à faire ces analyses, et qui suffira à l'usage de l'architecture en général. Le nombre des termes que je donne ici atteindra facilement ce double but, et je suis intimement convaincu qu'on ne pourra dépasser ce nombre sans pécher contre l'harmonie, parce que la nature limite les dimensions de l'architecture par la limitation même de nos sens et de notre taille ; c'est pourquoi Aristote avait parfaitement raison quand il disait oc que les objets beaux doivent avoir une certaine grandeur déterminée dans les trois dimensions des corps. »

GRANDE OCTAVE

GRAWDE OCTAVE

POUR LES LONGUBVRS

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