Soit donc, au contraire
Xv — jUL* ^ O.
Si p^ = P2 = o, e est nul; pour qu'il existe d'autres valeurs réelles de ^,, ^3 annulant e, il faut et il suffit que
(>y— VV)*— 4(V— fAV)(fXv'— VfJL')>0
ou, à cause des formules (19), ou simplement
(ao) (fJL 4- v')*+ /i(Xv — ^î) > o;
cette condition sera, en particulier, toujours remplie si Ton prend
>.v — jjL* > o :
d'où cette conséquence :
Même dans le cas de n = 2, il existe des systèmes d'unités principales, tels que les Ensembles de quantités complexes qui en dépendent admettent des diviseurs de zéro.
21. Examinons le cas, plus particulier encore, où n = 1, ^, = i,
f>3= y/— I. On a ici
e^'=.exf e^e%'=- e^j e^:rz 1;
( '9) donc
X=zl, ft' = I, Vizz — I,
V n'est pas nul, on est dans le cas du n^ 19; les conditions (17) sont remplies. De plus, £ n'est pas identiquement nul, puisqu'on a, dans notre cas,
|UL* Xv Z= I .
Enfin, [x-f-v' étant nul et Xv — [x^<o, la condition (20) n'est pas satisfaite, et il n'existe pas de valeurs réelles de p, et de p^ autres que o, o annulant e; c'est ce que montre d'ailleurs directement l'expression s, qui est
Donc, il n'y a pas d'autres diviseurs de zéro que zéro dans le cas où l*on prend les deux unités principales i et sj — 1 .
Ainsi la théorie présente concorde absolument avec les résultats du calcul ordinaire.
22. Application; équation du premier degré. — L'utilité de l'introduction des diviseurs de zéro sera rendue manifeste par la suite de ce travail; néanmoins, nous la ferons pressentir dès maintenant.
Considérons l'équation en quantités complexes à n unités principales
{a et b sont des éléments de l'Ensemble &).
La résoudre revient évidemment à effectuer la division de — a par h. Si b^Q, d'après la théorie précédente, on trouvera toujours une
quantité complexe x et une seule vérifiant l'équation (21); x sera la
racine de cette équation.
Si è = ô, supposons ce diviseur de zéro de la forme
h = kb',
k étant lui-même un diviseur de zéro et b' ne Vêtant pas. Alors les équations ( 1 8), où nous admettons que Yi , Ya» • • • » Y» ^^"^ '^^ coordonnées de l'inconnue x, ne conduisent pas à des quantités finies et déterminées; l'équation (21), elle aussi, n'aura donc point une racine finie et
(ao)
déterminée. Un cas est particulièrement intéressant, c'est celui où, en même temps que b = kh\ on a aussi a = ka\ Considérons alors l'équation
OÙ / désigne un diviseur de zéro quelconque dont le produit par le diviseur de zéro k soit nul. Il existe une infinité de telles quantités (n®16); on aura donc une infinité d'équations analogues à l'équation (22) et, par suite, une infinité de valeurs de œ vérifiant l'équation
k(,a'-^b'x) = kl = o
OU
a -h bx=LO,
Si l'on suppose que l'Ensemble des quantités complexes considérées dépend des deux seules unités principales i et \/— i, on retrouve comme cas particulier cette proposition :
L'équation du premier degré a-\-bx = o ^ toujours une racine et une seule si i^o (si è^ô); si 6 = o et si a = o (si 6 et « sont des multiples d'un même diviseur de zéro), l'équation aura une infinité de racines. Si è = o et a^o, l'équation sera impossible.
CHiPITRE IL
