D'UNE AUTRE MANIÈRE D'EFFECTUER LE CALCUL DES QUANTITÉS COMPLEXES
36. Les quantités adjointes. — Une quantité quelconque de «l'Ensemble peut s'écrire (n** 34)
Posons
Nous dirons que la fonction A(Ç) appartient à la quantité a et que, réciproquement, la quantité a appartient à la fonction A(Ç), ou encore que chacune de ces quantités est Y adjointe de l'autre.
D'une manière plus générale, si P($) désigne un polynôme entier en Ç, à coefficients réels, de degré quelconque, et si 9 est l'expression déduite de P($)» en y remplaçant les puissances o, i, 2, ... de ^ respectivement par ^0» gi* gi^ •••♦ ï^ous dirons que P($) et $ sont deux quantités adjointes Tune à l'autre, ou bien encore qu'elles appartiennent l'une à l'autre. Ainsi
/(O ^ ?" -+- Êi Ç'*-* -h . . . -f- £«-,? 4- e« et
gn -+- £1 ^«-1 "+-••• -H £«-1 ^1 -H £« ^0
appartiennent l'une à l'autre (nous supposons que ei, e^, ..., t^ ^^^^ les nombres rencontrés dans le Chapitre précédent). Il en est de même des deux quantités
Nous appellerons/($) le polynôme fondamental.
Prenons maintenant pour l'indéterminée $ une racine de l'équation
Tout polynôme P(Ç) entier par rapport à cette racine se réduira au
(3o) degré n — i par l'emploi de Téqualion
(3o) f(X)z=LO ou encore de £i^/(J):=o.
On pourra, en particulier, et c'est ce qu'il y a de plus simple, effectuer la division de P(^) par/jj^) et considérer le reste R($) qui sera le résultat cherché.
D'autre part, l'expression adjointe $ se réduira aussi à une expression linéaire en ^o» ^m • • •» ^«-i seulement, au moyen des deux expressions adjointes de /(i) et de $^/(^), qui sont effectivement nulles^ en vertu des équations (28') et (28''), c'est dire que l'on pourra directement obtenir cette réduction en prenant Vadjointe de R(^). Quand un élément de l'Ensemble & sera ainsi réduit à la forme linéaire en g^, gi, ..., g„-n nous dirons qu'il a h/orme canonique; son polynôme adjoint sera alors, lui aussi, de h /orme canonique.
Il est clair que, si un élément a = dogo + o^igi-^»--^ a„g-,^,, réduit à la forme canonique, est nul, son polynôme adjoint A($) est identiquement nul, puisque, si a = o, on a ao = ai = . . . = 0Ln^ = o,
37. Nouvelle manière de concevoir la multiplication de deux quantités complexes. — Soient maintenant
^ = Po^o-+- ?, ^, -h. . . 4- (3«,^„i
deux éléments quelconques de l'Ensemble £^. Soient aussi A($) et B(Ç) leurs quantités adjointes, $ étant toujours une racine de l'équation /(Ç) = o. Le produit A(i)B(Ç) sera Vadjoint du produit ab; on aura, d'ailleurs,
A(i) et B(i) étant du degré n — î au plus et /(i) du degré /i, 0(i) sera du degré /i — 2 au plus, et C ($) du degré n — i au plus. Si C est la quantité complexe appartenant à C(^), on aura évidemment, d'après ce qui précède,
La multiplication des quantités complexes est ramenée, par les considérations que je viens d'exposer, aux opérations ordinaires sur les polynômes entiers, et nous avons ici comme une sorte de calcul symbo-
lique de ces quantités. On voit, par exemple, tout de suite, que l'on a toujours pour trois quantités a, 6, c
abr=.ba, {ab)c = {ac)by a{b -h c) ^z ab -^ ac;
car on a
A(OBa) = B(OA(0,
[A(OB(^)]Ca) = [A(OCa)]BU), AU)[B(0+Ca)]-A(OBa)H-A(Ç)C(0,
et, dans chacune de ces égalités respectivement, les deux membres donneront toujours le même reste quand on les divisera par le polynôme fondamental.
