B(OC

zer

( 32) B(l) et C(E), ayant l'un et l'autre un degré inférieur a celui de /(5), ne sauraient être séparément divisibles par/(5) ; pour que leur produit le soit, il faut donc et il suffit que certains facteurs linéaires de/(5) (un au moins) appartiennent à B($) et les autres à C{1). Dès lors, le produit bc peut être nul sans que 6 ou c le soit. Nous rencontrons ains^ de nouveau, les diviseurs de zéro. ' •

Le caractère des diviseurs de zéro consiste donc, relativement a leur fonction adjointe, en ce que cette fonction adjointe (polynôme au plus du degré n - i ) admet comme diviseur un au moins des facteurs linéaires

de Al). ^^,,.____

,^ ^ , !.. Jp définition des diviseurs de

40. On peut, au moyen de cette nouvelV^ Chapitre I. Soient zéro, retrouver les résultats des n^» 17 et l^^^.^gur de zéro ; car, bc = o et b un diviseur de zéro; c sera aussi un d m>L ^ ^ facteurs lipuisque B(^) ne peut admettre comme diviseurs tous rel^j^ ^^ j^j^jj néaires de/(Ç) et que le produit B(Ç)C(Ç),les admet tous, ir queC(^)en admette un au moins; donc c est un diviseur de

De même, le produit d'un diviseur de zéro par une quantité plexe quelconque est aussi un diviseur de zéro. Soient a = O, 6 quantité complexe quelconque, Â(^) et B(^) leurs polynômes adjoin on pourra toujours écrire

A(OB(0=/(Oe(Ç)+B(0,

R($) étant du degré /i — i au plus. A(Ç) et/($) ont certainement un diviseur commun, puisque a est un diviseur de zéro; d'après l'égalité précédente, R($), qui est le polynôme adjoint du produit ab, doit nécessairement admettre le diviseur commun à/($) et A(Ç) : donc le produit ab est un diviseur de zéro.