Voici une autre proposition

Si l'on suppose que V équation f[ Ç ) n admet pas de racines doubles, il n'y a dans l'Ensemble & que la seule quantité o, dont une puissance entière puisse être nulle.

Soit a une quantité complexe de l'Ensemble &. Sia^Q, la proposition est évidente, car dans a^ il n'y a aucun facteur qui soit un diviseur de zéro.

omne

Si a =r O, le polynôme adjoint A(Ç), qui est du degré n — r, a certains diviseurs linéaires communs avec/(i), mais il y en a au moins un de/(^) qui n'appartient pas du tout a A(^); soit ^ — w ce facteur. Une puissance quelconque de A(Ç) ne peut contenir ce facteur ^ — u et, par suite, être divisible par/(^) ; donc a** n'est certainement pas nul (n^ 38). Au contraire, si réquation/(^)= o admet des racines multiples, même une seule, il y aura certains diviseurs de zéro dont les puissances entières, à partir d'un certain degré, seront toutes nulles. Soit, en effet, p le plus élevé parmi les degrés de multiplicité des racines de/(Ç); et soit maintenant a un diviseur de zéro dont le polynôme adjoint A(^) contient tous les/acteurs linéaires distincts de/(Ç), ce qui est possible, puisque A(^) peut être du degré /i — i, et que/(i) a par hypothèse au moins un facteur linéaire double ; il est évident que [ A ( ^ )]^, qui est la fonction adjointe de a^, sera divisible par/{^) et que, par suite, a^ sera nul. On a des lors, pour l'entier positif quelconque (x,

42. Si donc on veut que o soit le seul, parmi les éléments de l'Ensemble £, dont les puissances successives sont nulles, on doit nécessairement admettre que/(^) n'a que des racines simples, ou, ce qui est la même chose, que le discriminant de/(^) est différent de zéro.

Nous supposerons cela désormais :

43. Détermination du quotient de deux éléments au moyen des poly- V nomes adjoints. — Soit b une quantité complexe qui ne soit pas un

diviseur de zéro; on peut alors toujours déterminer le quotient par /; d'une autre quantité complexe a. Soit c ce quotient :

h n'est pas un diviseur de zéro; donc B(^) et/(^) sont premiers I entre eux, et, d'après le théorème d'Euler, on peut trouver deux poly-

I nômes

^(0 et Ml), tels que

d où

Aa)B(0^(0-A(O^^U)/(?) = A(0;

en écrivant ensuite

^a)Ml)^Mi)Al)'^(^{l).

de telle sorte que C($) soit de degré inférieur à/(^), c'est-à-dire de degré n — i aux plus, ce qu'on obtiendra par une simple division; portant maintenant cette valeur dans l'égalité précédente et groupant les termes en /(i), on aura

Aa) + 0(O/(?) = B(OC(O; d'où

a = oc, -r = c,

en appelant c la quantité complexe adjointe du polynôme C(^).

44. Soit b = Q, 11 est généralement impossible de trouver le quotient T'y car, les deux polynômes B{1) et/(^) n'étant plus premiers entre eux, l'égalité

dont dépend, en fait, la possibilité de la division, ne peut avoir lieu si A(^) n'admet pas le facteur D(^), plus grand commun diviseur entre

Si A(^) admet le diviseur D(|), la division est possible et la détermination du quotient c, au moyen de sa fonction adjointe G(^), se fait comme il suit :

On pose