SIMPLIFICATION DU CALCUL
Les composants et leurs propriétés.
45. Imaginons qu'on ait décomposé le polynôme fondamental /(^) en ses facteurs linéaires; groupons deux à deux ceux d'entre eux qui correspondent à des racines imaginaires conjuguées, puis désignons généralement par f^Çi) un des facteurs linéaires à coefficients réels ou bien encore un des facteurs du deuxième degré à coefficients réels, mais à racines imaginaires. On aura identiquement
r est inférieur ou égal à n selon que/(Ç) a ou bien n'a pas de racines imaginaires.
Soit maintenant A(i) le polynôme adjoint (de degré w — i au plus) de l'élément a. Une décomposition en éléments simples de la fraction
rationnelle
Al) nous donnera (les coefficients étant tous réels)
/Y M fl^\
A^(5) est une constante réelle si /'^(^) est du premier degré; A^(^) est,
au contraire, un polynôme du premier degré en Ç à coefficients réels s\/^{^) est du deuxième degré.
Soient &^,£^.,, .... £^r les Ensembles de toutes les quantités complexes appartenant respectivement ^xw polynômes de la forme
A^) ''^'' /,a) '''" "" Ml)
et a,, «2» •••» «r les éléments correspondants de chacun de ces i?/w^m6fe5 partiels. On voit que toute quantité complexe a de l'Ensemble & peut se représenter à l'aide des éléments des Ensembles partiels <!^4, £2» •••>«!^r
sous la forme
a = a, -+- aj-i-. . .-^ a,, [formule (32)].
On dira que les quantités a^, a.^^ ,.,, ar sont les composants de a.
Propriétés des composants.
Î6. i^ Un élément a ne peut être nul que si ses composants sont tous nuls séparément.
Soit, en eflTet, a^ un composant quelconque de a; je dis que, si l'on a rt = o, on a aussi ay,=^ o. La démonstration sera faite si l'on prouve que k^Çi) est identiquement nul dès que A(Ç) l'est lui-même. Or, A(Ç) étant identiquement nul, l'égalité (32) divisée par/($), qui lui n'est pas nul identiquement, devient
fdi) Aa)'^'''^ Ml) Mi)^
et doit avoir lieu, quel que soit $.
Alors, si, en premier lieu, /Jt(^) est du premier degré, donnons a ^ la valeur qui annule yji.(^); cette égalité est impossible à moins que la constante Aji($) ne soit nulle.
Si, en second Weyx, f^{^) est du second degré, donnant à $ l'une des deux valeurs imaginaires qui annulent /($), on voit que l'égalité en question est impossible, à moins que pour cette valeur imaginaire de ^ le polynôme ^^[\) du premier degré et à coefficients réels ne s'annule lui-même : or cela exige que A^{'^) soit identiquement nul.
2^ (a) Le produit de deux éléments appartenant à deux Ensembles partiels différents est toujours nul.
( P ) Ze produit de deux éléments appartenant au même Ensemble partiel est lui aussi un élément de ce même Ensemble partiel, et Vêlement produit ne peut être nul que si l'un des éléments facteurs est nul,
(a) Considérons les deux éléments
a^ et ^v
appartenant respectivement aux Ensembles C^ et <Cv. Leurs polynômes adjoints seront
ifM^) et ^B.U);
le produit a^^b^ a pour polynôme adjoint, avant réduction à la forme canonique,
or cette expression est certainement divisible par/(Ç), puisque
Mi)Aa)
est un polynôme entier; en conséquence, on a bien pour la quantité adjointe
(^) Prenons maintenant les deux éléments a^., b^ et leurs polynômes adjoints Pi^[\) et ^^[\\ Le polynôme adjoint du produit sera
Effectuant la division de ce polynôme par/(^), on aura
R($) sera le polynôme adjoint du produit a^b^ réduit à la forme canonique. Cette égalité montre immédiatement que R($) (de degré n — i
au plus) est divisible par -tWt (degré /i — i ou n — 2), puisque les
deux autres termes admettent ce diviseur; en sorte que, si C{i.(Ç) désigne
une certaine constante convenable, ou un certain polynôme du premier degré en $, selon (\\xe/^{l) est du premier ou du second degré, le polynôme adjoint du produit a^b^ aura la forme
Mi)
il en résulte que le produit a^^b^ est lui-même un élément c^ de l'En-
semble £^.
Il nous reste à voir que cet élément est nul seulement lorsque Ton a
a^=.o ou bien b^:=zo.
Pour que c^ soit nul, il faut que
soit exactement divisible par/(^) ou, ce qui revient au même, que
Mi) Mc.)
soit entier, ou encore, puisque (n° 42) • . ^ y etyj^(^) sont premiers entre eux, que
Aa)
soit un polynôme entier. Cela est manifestement impossible quand /^(Ç) est du premier degré, car alors A^{1) et li^{^) sont indépendants de Ç. Lorsqueyjt($) est du second degré, /pt(^) a ses deux racines imaginaires, tandis que le produit A^{^) ^^{^) n'a que des racines réelles.
On voit donc que dans tous les cas ^ ^ ^!^ "^ ne peut être entier, à moins que A^{^) ou li^{^) ne soit identiquement nul.
3° L'Ensemble £^^ est une multiplicité (Mannigfaltigkeit) à i out. dimensions, selon que/^[^) est du premier ou du deuxième degré.
Lorsqueyji(i) est du premier degré, Aj;.(^) étant une constante, tous les éléments de l'Ensemble C^ peuvent se déduire de la seule quantité appartenant à
Ml Ml)'
( 39) Lorsqueypt(^) est du deuxième degré, A^{^) étant du premier degré, tous les éléments de l'Ensemble ^^ipeuvent se déduire des deux seules quantités appartenant respectivement à
mais on peut aussi déduire tous les éléments de deux quelconques d'entre eux appartenant aux deux polynômes
ou Ton suppose
Comme on le voit, les deux polynômes adjoints, en vertu de cette condition, ne peuvent se déduire l'un de l'autre par une relation linéaire homogène à coefficients numériques. D'autre part, on voit aussi que le polynôme adjoint
d'un autre élément quelconque de l'Ensemble C^ se déduit aisément par une combinaison linéaire à coefficients numériques des deux polynômes précédents; car, lorsqu'on a
on peut toujours déterminer deux nombres X et X' tels que
Choix particulier d'éléments fondamentaux de calcul.
47. Nous allons faire choix d'éléments particuliers, comme éléments fondamentaux de calcul.
A cet effet, exprimons la quantité go, trouvée plus haut, au moyen de ses composants
D'après les propriétés (a) et (^) des composants, on a
d'ailleurs on a aussi (n^ 24)
donc
d'où, en particulier,
c'est-à-dire que la quantité ^^'^s laissant invariable par multiplication tout élément de l'Ensemble S y,, jouit dans cet Ensemble partiel €^ de la même propriété que possède ^o dans l'Ensemble «f (*).
18. A présent, séparons le cas où la multiplicité de l'Ensemble «E^j^ n'a qu'une dimension, de celui où elle en a deux.
Premier cas : £^est une multiplicité à i dimension. — Tous les éléments ont pour polynôme adjoint un polynôme de la forme
Ajj. étant un nombre réel. Le polynôme adjoint de g^^'^ a, par suite, luimême cette forme; au reste, les polynômes adjoints des autres éléments de l'Ensemble C^ ne différant de celui de g^^^ que par un facteur numérique, tous ces éléments ont la forme
OLg^V-)
OÙ a est un nombre réel quelconque.
(») On a vu (n° 2o) que la quantité ^o (ow ^o) était uniqucy quand on prenait comme point de départ pour la former un élément a non diviseur de zéro, et il n'est pas contradictoire de trouver ici r quantités ^, g", . . ., g^^\ jouissant des proj)riétés de go^ chacune dans son ensemble respectif : cela tient à ce fait qui sera prochainement démontré, que le composant a^y considéré comme élément de TEnsemble £, est un diviseur de zéro; en posant, ce qui répond à la définition de g^V^^
on n'est donc pas dans le cas de la défmition de ^o-
Il en résulte immédiatement, pour le produit et le quotient des deux éléments
a^(i*> et (3^<(^J
de cet Ensemble £^^, les expressions
(33) («^(l*))(l3^(l^)) = aP^(i^)
et
Remarque. — Implicitement, nous avons admis que P n'était pas nul; en convenant d'appeler in/ini un élément (xfg^^^ de l'Ensemble C^, dans lequel le coefficient a' est infini, on dira, lorsque p = o, que le
quotient g g^^^ est «Vi/îm.
49. Deuxième cas : €^ est une multiplicité à deux dimensions. — Outre la quantité g^^\ nous considérerons dans ce cas une autre quantité quelconque h^^^ de l'Ensemble &^, mais qui ne puisse pas se déduire de g^^^ par une simple relation linéaire homogène à coefficients numériques. Alors, d'après une remarque faite à la fin du n^ 46, toute autre quantité de l'Ensemble &^ pourra se déduire linéairement de ces deux éléments
g^v-^ et h^^K
Dès lors on déterminera les deux nombres réels y et y', qui permettent d'exprimer [h^^^y, au moyen de g^^^ ^ik^\ et l'on aura
formule que l'on peut écrire
en se rappelant que
Dans l'égalité (cy), on doit nécessairement avoir
nar autrement, en décomposant le premier membre, on aurait les deux quantité»
On voit qu'elles appartiennent à l'Ensemble &^, que leur produit est nul (ct), et que cependant chacune d'elles n'est point nulle (*), ce qui devrait être (n" 40, 2").
(]elte même égalité (cr), écrite sous la forme
montre qu'en posant on aura
(35) (X:(|i.))ir^— ^(|i);
el, parce que toute quantité de l'Ensemble <tjA s'exprime linéairement au moyen de g^^^ et de h^^\ elle s'exprimera aussi linéairement au moyen de f^^^ et do k^^^x la forme générale de ces quantités sera donc
50. Remarque I. — Mise sous cette forme, une quantité complexe de l'Ensemble €^ ne peut être nulle que si l'on a simultanément
carde
on tire, en remplaçant k^^'^ par sa valeur en fonction de h^^\
or cette relation est impossible par hypothèse, à moins que simultané-
( * ) Car, par hypolhèso, h^v-^ ne pout pas se déduire de ^(^.
ment on ait
c'est-à-dire
oc o.
Corollaire. — Si
(Xg^V-)-^^k^V->z
-a'^(|i.)j(3/^(ix)^
ol — ol', ? = (3'.
Remarque II. — Le produit des deux éléments
a^(li.)4 j3A-(|i) et a' g^v-) -Jt- i^' k^v-)
appartenant à V Ensemble &^ est donné par la formule
(36) {oig^V-)-^ i^ k^V-)) {oi' g^^^ -^ ^' k^v-)) — {a(x'— (3(3')^^»*^-h («(3'-h Pa')A-ii^).
De même, pour le quotient de deux éléments de l* Ensemble &^ dont le second n^ est pas nul, on aura
résultat que Ton obtient immédiatement en multipliant haut et bas dans le premier membre par
On a admis que n'était pas nul; si ce cas se présentait, c'est-à-dire si
on dira que le quotient est infini, en appelant, en général, iri/ini tout élément de l'Ensemble C^
pour lequel l'un au moins des deux coefficients a et (3 est infini ou, ce qui revient au même, pour lequel
est infini.
51. Conséquence importante . — La quantité g^^\ ainsi que je Tai déjà signalé, se conduit dans le calcul des quantités de TEnsemble C^absolument de la même manière que le nombre i dans le calcid des quantités réelles ordinaires; les derniers résultats que nous venons de trouver [en particulier la formule (35), les remarques I et II] montrent que, de son côté, la quantité k^^^ se conduit relativement à g^^\ dans le calcul des quantités de l'Ensemble £^^, de la même manière que le symbole \j — i relativement au nombre i dans le calcul ordinaire des quantités imaginaires, de telle sorte que Ton peut, sans aucun inconvénient, poser
et, par conséquent,
Pour que deux quantités a^ et à^ soient égales, il faudra encore et il suffira que Ton ait
De cette façon, la considération directe du symbole A^^^ se trouve supprimée.
De là encore cette conclusion importante, que fréquemment il sera inutile de distinguer les deux cas où &^ est à une ou bien à deux dimensions; car on pourra toujours écrire, pour un élément quelconque a^ de cet Ensemble,
ap, étant d'ailleurs réel ou imaginaire.
Ainsi ces trois points
i<* OL^ réel ou imaginaire,
contiennent au fond tout le calcul des éléments de V Ensemble t^,
52. Enfin observons aussi que la formule a^ = oi^g^^'^ prouve que g^^'^ ne saurait être nul; car, s'il l'était, il faudrait admettre que l'Ensemble <Dji n'existe pas. Les composants de g^ sont donc tous différents de zéro.
