AU MOYEN DE LEURS COMPOSANTS

Addition, soustraction, multiplication, diviseurs de zéro.

53. Soient a, i, ... diverses quantités complexes de l'Ensemble «D et a^, «2, ..., a^; 6|, ^2, . .., è^, leurs composants respectifs.

Addition et soustraction. — On a immédiatement

et il est clair, du reste, que les quantités

appartiennent respectivement aux Ensembles <t^, «tg» •••» ^r^ comme on peut le voir, par exemple, en se reportant aux polynômes adjoints.

54. Multiplication. — La seconde propriété des composants donne également de suite

ab =r «1 6i H- «i Ôj-h ... -h Clrbf..

a^b^, a.,b^, ..., a^br appartiennent respectivement aux Ensembles &^, «^2, . . ., £^ et ne peuvent être nuls que si l'un des composants facteurs est nul. Pour calculer ces produits partiels, on aura recours, suivant les cas, à l'une des formules (33) ou (36).

55. Diviseurs de zéro. — Considérons le produit ab. 11 ne peut être nul que si chacun de ses composants est nul (première propriété des composants); si donc on a

ab ^=o,

on a aussi d'où

ûTi OU ô| = o, a, ou fti=o, ..., «r ou 6;.=io;

autrement dit : pour qu'un produit de deux facteurs soit nul, il faut et il suffit qu'à tous les composants différents de zéro, de l'un des facteurs, correspondent dans l'autre facteur des composants nuls.

Par suite, si l'on suppose que l'un au moins des composants de a est nul, il sera toujours possible de trouver une autre quantité complexe h, différente de zéro et telle que le produit ab soit nul.

Par exemple, si a, est un des composants nuls de a, on pourra prendre

a et b seront dans ce cas des diviseurs de zéro. On se rappelle, en effet, qu'un diviseur de zéro a pour propriété fondamentale de donner un produit nul, quand on le multiplie par certaines autres quantités complexes, bien que ni lui, ni ces autres quantités ne soient nulles.

D'après ce qu'on vient de voir, un diviseur de zéro est une quantité complexe dont l'un au moins des composants est nul.

Je n'ai pas besoin de faire observer que l'on déduit facilement de là les propriétés des diviseurs de zéro, déjà établies plus haut de deux manières, savoir :

I® Que le produit d'un diviseur de zéro par une quantité complexe quelconque de l'Ensemble £ est lui-même un diviseur de zéro;

2** Que, si le produit ab est nul et que a soit un diviseur de zéro autre que zéro, b est lui-même un diviseur de zéro.

La division.

56. Pour effectuer la division de a par 6, nous avons à évaluer les composants Ct, c^, ....c^ d'une troisième quantité complexe, telle que

T = c ou aziz bc.

(47) r 6^0. — Derégalité

qui entraine

et parce qu'aucun des composants

n'est nul, on tire

Le calcul des quotients partiels se fait au moyen des formules (34) ou (37), selon les cas.

2** 6 = 0. — Alors, parmi les composants de A, il y en a un au moins et peut-être plusieurs qui sont nuls; nous supposerons ceux-ci écrits les premiers, de sorte que l'on ait

61 tn 6, nr . . . rzi ^j = O,

mais

Pour que la division soit possible, les i premiers composants de «, c'est-à-dire «,,«2, ...,a, devront être nuls. Si ces i conditions sont

remplies, le quotient r aura une infinité de valeurs, car toute quantité

dans laquelle on aura pris arbitrairement les composants c,, c^, ...,c/, et déterminé les autres par les égalités

sera telle que

a-=. bc»

57. Lorsque les composants a,, a2, . . ., ai ne sont pas tous nuls, la division est, à proprement parler, impossible. Néanmoins, on peut encore dire que le quotient existe et qu'il est infini, en conservant la formule

et remarquant que, parmi les / premiers composants du deuxième membre, quelques-uns sonlinfinis. Cela suppose la définition suivante :

Une quantité complexe a est dite infinie, lorsque Vun au moins de ses composants est infini.

D'après la définition donnée plus haut d'un composant infini, cette nouvelle définition est toute naturelle. Il est également permis d'adopter, dans tous les cas, la formule (38), et Ton y est forcément amené,

en considérant |-' pour 6, = o, comme la limite de ^[ pour 6,- d'abord

différent de zéro et tendant ensuite vers zéro.

58. L'introduction des quantités complexes infinies nécessite quelques distinctions importantes.

Soit

ûf :=: a, 4- aj -h . . . H- ûfr

une quantité complexe. J'emploierai les dénominations suivantes :

a est une quantité complexe ordinaire, lorsque, parmi ses composants, il n'y en a aucun qui soit nul ou infini.

a est un diviseur de zéro ordinaire, lorsque, parmi ses composants, un au moins est nul, et (\Waucun n'est infini.

a est un infini ordinaire; lorsque, parmi ses composants, un au moins est infini et (\\x aucun n'est nul.

a est un infini mixte; ou encore un diviseur de zéro mixte, lorsque, parmi ses composants, un au moins est nul et un au moins est infini.

Quand j'emploierai les mots quantités complexes , diviseur de zéro ^ infini, sans spécifier davantage, ce sera toujours en sous-entendant après ces termes le mot ordinaire.

59. J'adopterai encore cette autre définition : V inverse d'une quantité a est la quantité

En écrivant

^i-H 6j4-.. .4- br~ 2- 4- 2- 4-. . .-I-

^Ar)

ûfi Ot a,.

(49) on arrive sans peine à se convaincre de rexactitude des propositions que voici :

i^ Les composants de Vim^erse d'une quantité complexe sont les inverses des composants de cette quantité;

i>? L'inverse d'une quantité complexe ordinaire est une quantité complexe ordinaire ;

i^ L'inverse d'un diviseur de zéro ordinaire est un infini ordinaire, et réciproquement;

4° L'inverse d'un infini mixte ou diviseur de zéro mixte est un infini mixte ou diviseur de zéro mixte,

Le théorème général.

60. Les calculs faits précédemment conduisent immédiatement au théorème général que voici :

La quantité complexe a de l'Ensemble C étant fiyrmée avec d autres quantités b^c,dy ... du même Ensemble, à l'aide d'un certain nombre des opérations élémentaires : addition^ soustraction, multiplication, division, s'obtiendra en calculant séparément chacun de ses composants.

Le composant a^ se déduira des composants b^, c^, d^^ .,. en effectuant identiquement les mêmes opérations élémentaires qu'on doit exécuter sur b, c, d, ... pour avoir a.

Enfin, dans chaque Ensemble partiel C^, les calculs sont tout à fait analogues à ceux du calcul des quantités ordinaires, réelles ou imaginaires.

61. Application. — Ce théorème est évidemment susceptible d'un grand nombre d'applications : par exemple, si

sont/?* quantités complexes de l'Ensemble £ et que l'on désigne leurs B. 7

composants respectifs au moyen d'indices inférieurs, on aura, sans calcul.

.. af .. b[P^

aj.»' ai.*'

/(i) fil)

. • * va