AVERTISSEMENT

62. But de la deuxième Partie. — Le théorème général auquel nous sommes arrivés dans le dernier Chapitre de la I"^* Partie entraîne cette conséquence que le calcul des nouvelles quantités se déduira toujours avec facilité du calcul ordinaire, et, à cet égard, le résultat obtenu est complet, mais il y a un autre aspect de la question : les théorèmes du calcul algébrique ordinaire, suffisants pour effectuer les calculs dans chaque Ensemble composant £,, £3» .. ., «t^» sont-ils vrais sans modification aucune pour l'Ensemble <t lui-même? La réponse à cette question se trouvera, pour une partie au moins, dans cette deuxième Section de mon travail.

Au premier abord, certains résultats obtenus par cette voie semblent être opposés aux théorèmes algébriques ordinaires ; mais, en les examinant de plus près, on s'aperçoit bien vite qu'ils en sont de véritables généralisations et qu'ils admettent bien, comme cas particuliers, ces théorèmes eux-mêmes.

Dans cet ordre d'idées, je signalerai, par exemple, ce qui a trait aux racines égales des équations algébriques (n° 79).

Un autre point assez important, ce me semble, recevra aussi quelque éclaircissement dans le courant de l'étude que je vais faire; je parle de la possibilité d'opérer dans certains cas sur les quantités de l'En-

(Sa)

semble «f , sans les exprimer au moyen de leurs composants» et de les traiter alors comme des quantités ordinaires; cela n'étant pas toujours possible, il m'a paru utile d'en donner quelques exemples dans ce qui suit. On les reconnaîtra sans peine (•).

63. Remarques préliminaires. — i^ Dans tous les calculs que nous allons faire, nous devons évidemment supposer que tous les termes

et éléments qui y entrent appartiennent au même Ensemble &; car nous ne pouvons pas imaginer de relations d'égalité entre des objets de nature différente : par exemple, l'équation air-+-a = o, où a serait un pur nombre, tandis que a serait une quantité complexe appartenant à l'Ensemble &^ n'a absolument aucune signification.

2^ Il y a néanmoins un certain sens, dans lequel l'introduction de quantités purement numériques n'est point absurde. Un exemple fera comprendre ma pensée : soit a6 un produit; pour qu'il appartienne a l'Ensemble £, il suffit que l'un des deux facteurs appartienne lui-même à cet Ensemble, l'autre pouvant aussi lui appartenir, ou bien encore étant simplement un nombre réel. Ce dernier cas, d'ailleurs, se ramène facilement à l'autre; car, si a est un nombre réel et que b appartienne h l'Ensemble <t, on peut écrire

b — bg^y ab — abgQ^=.ag^b\

ag^ appartient alors à l'Ensemble C En vertu de cette remarque, on pourra toujours, dans les raisonnements, supposer que les deux facteurs a et b appartiennent à V Ensemble £.

On peut aller plus loin dans certains cas et admettre d'une façon analogue les constantes imaginaires : cela aura lieu d'abord pour chaque Ensemble partiel, qui sera une multiplicité à deux dimensions; et ensuite aussi pour l'Ensemble & lui-même, si tous les Ensembles composants de celui-ci sont à deux dimensions.

3® Bien que plusieurs des points que je vais traiter n'excluentpas les Ensembles composants à une seule dimension, néanmoins, sauf avis

{> ) Voir, par exemple^ les fractions rationnelles n** 82 et 83-

contraire, je supposerai généralement qu'ils en ont tous deux. Cette hypothèse sera bientôt justifiée (n^ 68),