LES SÉRIES

84. Je dirai qu'une série de quantités complexes est convergente quand les r séries composantes le seront elles-mêmes,

à savoir

aV'-+-«i''-+-----H<'

ai.»'-Ha;*>-H...4-ar-+-

A son tour, chacune des séries précédentes sera dite convergente, quand la série des coefficients affectant la quantité g^^^ correspondante sera convergente.

Ainsi la série

. . -h a'ijT' 4- .

= ay)^({i.)-+-a|,"^(lx)-H

...+«lf'

ff(^)

z^(l*)[aj;»

sera convergente

si

ail.

Test. Cette série étant une série à termes réels ou imaginaires, on est ramené à l'étude des séries ordinaires.

Soient deux séries k termes complexes

ou bien

en posant

m = ilU, -+- Uî,, 4- ... -H Dbf ,

Xi = «i» ' 4- «i*^ 4- . . . 4- al^^ 4- . . . , lPo^= ^Jiï 4- 6;.*' 4-. . .4- ^^1^^ 4-. . .

le produit des deux séries x et ilb sera

tK,\S\> = X, "Ul), 4- cA.j 'Uî)j 4- ... 4- fti'rtflr»

le produit Jl,/ift)/ étant effectué à la manière ordinaire pour le produit de deux séries.

Les séries ordonnées suivant les puissances croissantes d'une variable complexe x n'offrent pas de difficultés, parce que l'on a

J7 — — ^ ^1 4~ <2^j 4" ... 4~ "^ rf ~~ \ 4~ ^j 4~ ... 4" ^ p*

( 73) Si

est une telle série, il faut observer que tous les coefficients, sauf a, peuvent être de purs nombres; a doit forcément appartenir à l'Ënsembleif^

(n'-eS).