Troisième conséquence

l'Ensemble £

Soient a,, a,, ..., a^^ n éléments de

«t = ItX ^1

SI» ^nt

^/i — Sm^l ~J" S/îî^l -h. . . H- CnnCn*

Supposons que le déterminant

ne soit pas nul.

Sl«

st«

Soient, de plus, X,, >.2, . . ., X«, n nombres réels indéterminés, mais qui ne sont pas tous nuls; la quantité

^j «1 4- ^1 aj -h . . . -h ^n ^/»

ne pourra jamais être nulle.

On a

(^ISI»"^" ^îSî» -+-••••+- A;,^;,^)^;,.

Cette quantité est elle-même un élément de TEnsemble £; elle ne peut donc être nulle que si ces n coordonnées sont nulles, c'est-à-dire si l'on a

/v . ^iÇil H- ^jÇïi -+-• • •-+- X^j^rtj = 0,

Or, puisqu'on a

considérées en >.,, Xj, ..., \, ces équations n'admettent pas d'autres solutions que

ce qui est contre l'hypothèse.

7. Remarque. — Il est facile de voir que la démonstration précédente repose sur ce que la quantité

^1 a, -h Xj ûTj H- . . . + Xrt a«

fait partie de l'Ensemble &, aussi bien que les éléments a,, a^, . . ., a^. Elle serait, par exemple, en défaut si, au lieu de définir les éléments de l'Ensemble «t comme nous l'avons fait, on n'admettait dans leurs expressions que les seules coordonnées commensurables et que l'on fît choix, pour les nombres X,, >.2» • • •» ^«^ de valeurs incommensurables; à la vérité, les relations (7) continuent à ne pouvoir être vérifiées par les valeurs prises pour).,, >.2> •••> ^nî ïnais ces relations elles-mêmes n'ont

(8) plus aucun lien avec la question. En effet, les quantités

i/in

n'étant plus co7?îman^£//»We^ (en général du moins),

X, eZi 4- ^1 «2 "^ • • • 4" ^n ^n

n'est plus un élément de l'Ensemble £, et, dès lors, on ne peut plus affirmer que ces quantités sont séparément nulles lorsque

X, a, H- Xj ÛTj 4- . . . -h )./! Gn

l'est. Néanmoins, même dans le cas actuel, la démonstration subsiste pleinement si, pour X,, Xj, .•.,>.;,, on prend exclusivement des valeurs rationnelles.

8. Les autres conditions à imposer aux unités principales se déduisent de celles indiquées en général au n** 2 pour toutes les quantités de l'Ensemble C.

La somme et la différence des deux unités Cp, e^ fait évidemment partie de l'Ensemble £ ; en ce qui concerne leur quotient, on n'aura qu'à particulariser les résultats qu'on trouvera plus loin pour le quotient de deux éléments quelconques a et 6.

Enfin, pour le produit e^^^, nous devons exiger qu'il soit exprimable linéairement au moyen des n unités; nous posons donc

Les trpq sont des nombres réels. Il ressortira de l'ensemble de ce travail que ce sont véritablement ces nombres qui définissent le système des unités principales, et que leur choix est arbitraire dans certaines limites que nous apprendrons successis^ement à connaître.

9. Les théorèmes exprimés par les égalités (i) sont évidemment satisfaits pour tout choix des nombres irpq\ il "'en ^st pas de même des égalités (2).

( 9) Le théorème commutatif ( * ) pour la multiplication nous oblige i\ écrire

et, par conséquent,

(9) ^rpq^^^rqp

pour toutes les valeurs