AF AO,£; A^^ A
^a:- AI, g'-^ AÇ, g'^'"^ Aï, g' '
Chacune des quantités -ry^ est réelle ou imaginaire, et l'on peut la B. lo
gw
supposer finie et déterminée. Mais le facteur ^-y qui multiplie cette quantité n'est fini que pour « = i ( n*** 56 et suiv.), auquel cas on a
Pour que l'égalité précédente ail un sens admissible, il faut donc exiger
•^=0, pour i^\.
En regardant comme seuls variables successivement Ç|, ^a, ..., ^^, on se convaincra sans peine que chaque fonction $, doit être fonction de la seule variable i, de même indice, ou encore que le composant F, de F n est fonction que du composant de même indice de la variable indé^ pendante.
Supposant maintenant cette condition remplie et laissant variables tous les composants de x, on aura, pour la dérivée de V{œ),
dF dil>i , d^^ ^ d(Pr . ,
djc^ dl,'' ' rf|, ° dl. ""
D'ailleurs rien n'empêche d'écrire
dli ^ — dxi'
d'où ce théorème : « Les composants de la dérivée d* une fonction sont les dérivées des composants de cette fonction par rapport à l'unique composant dont ils dépendent, »
86. Le théorème général (n^ 60) permet d'affirmer que toutes les fonctions composées avec la variable x au moyen des seules opérations : addition, soustraction, multiplication, division, satisfont a la condition que l'on vient de trouver.
De même, toute fonction définie par une série convergente procédant suivant les puissances entières et positives de la variable x satisfait à cette condition.
Egalement toute fonction définie par une série convergente dont les
termes sont eux-mêmes des fonctions vérifiant la condition indiquée la vérifiera eUe-même,
87. Remarque. — La condition précédente est nécessaire, soit que tous les Ensembles partiels aient deux dimensions, soit qu'ils n'en aient qu'une; mais on doit en outre exiger que la fonction <I>/ de $/ soit une fonction réelle de Ç,, si l'Ensemble £, est une multiplicité à une seule dimension.
Classification des fonctioûs.
88. Une valeur de Ç, étant figurée par un point dans un plan, on pourra l'appeler le point E/ ou le point x^; et l'on pourra dire de même le point X, au lieu de la valeur de x; pour ce dernier, il y aura lieu, plus loin, de distinguer le cas où x est nul ou bien est un diviseur de zéro : on est donc amené à parler du point zéro, d'un point diviseur de zéro d'ordre p, p étant le nombre des composants xi qui sont nuls; si p =ir, x est le point zéro lui-même.
Contourner un point x\ ce sera faire décrire aux divers points composants de X des chemins fermés autour des points composants de x' . Il n'est pas nécessaire que tous les composants de a? varient.
J'appellerai intérieur de l'espace X l'ensemble des valeurs complexes de X, pour lesquelles chaque variable ^/ reste intérieure à une certaine courbe S^ du plan représentatif de cette variable imaginaire Ç/.
La fonction F sera dite monogène tant que chacune des fonctions F,, Fa, . . ., F^ restera fonction monogène de la variable dont elle dépend, c'est-à-dire tant que $<, $2, . .., ^r seront respectivement fonctions monogènes de ^,, ^2, . . ., Ç^.
F sera uniforme pour toute valeur de x intérieure à l'espace X, quand <1k(î = I, 2, . . ., r) sera uniforme pour toute valeur de $, intérieure à la courbe S/.
Les propriétés qu'aura F(a7) d'être continue et d'être holomorphe se définiront d'une façon pareille.
F(a:) sera méromorphe à l'intérieur de X, quand une ou plusieurs des fonctions $|- seront méromorphes à l'intérieur des courbes correspondantes S/, les autres restant bolomorphes.
On voit immédiatement que, si une fonction F(a?) est holomorphe à l'intérieur de X, il en est de même de toutes ses dérivées successives.
