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Série de Taylor.

89. La série de Taylor est applicable aux fonctions holomorphes de la l'ariable complexe X . — Soit

une valeur de x intérieure à l'espace X, dans lequel Y[x) est holomorphe.

Autour de chaque point Ç^, décrivons un cercle C| tout entier intérieur à la courbe S, et appelons sphère T' l'espace P comprenant toutes les valeurs de ^ qui correspondent à toutes les valeurs des quantités H/, respectivement intérieures aux cercles Q (1 = 1,2,..., r).

Je dis qu'on aura

On a, en effet,

F(a?)=:F,(x,)-+-F,(^a) + ..- + F,.(^,) d'ailleurs, par hypothèse.

Donc

^\^*;(r.)^'+ ^-^Vt^' *;(r,)^'+. • •+ ^-^^77^*;(^r)«"'"-'

( 77 ) or, d'une manière générale,

est le i'*"* composant de

Dès lors, la formule (44) donne immédiatement la formule (/|3) qu'on se proposait d'établir.

Inversement, on verrait sans peine que toute fonction F(a), développable en série convergente suivant les puissances entières et positives de

dans une sphère P est une fonction holomorphe à l'intérieur do la sphère P.