D'après le théorème associatif, on doit avoir
(10) {epeg)er = {eper)eq (/>, q,r=i,2, ...,/i)
ou bien, en appliquant plusieurs fois de suite la formule (8),
\Blpq€i •+- Êjpgr^jH"» • • H" ^npq^n)^r^^^^\^lpr^i "+" ^ipr^t 4- ... -h ^npr^nf^q
OU encore
^=^£ipr(£iiî^i ~i~£ji^^î ■+"•••+ 6/117^») 4~ fijpr (fiiiç^i ~t" €«^^2 4-. . . + ^ntq^n) "+"•••
4" £/ipr(Êl»9r^l 4- ^ijtq^t 4" ... 4" ^nnq^n)'
(1) Le théorème commutatîf n'est pas valable pour la multiplication dans le cas des quaternions; aussi les quaternions ne rentrent-ils nullement dans la théorie que j'expose.
On sait qu'un quaternion Q est une quantité complexe dépendant des quatre unités principales : I , /, y, k^ sous la forme
Q =^ w -\-ix -\-Jx 4- kz ;
w^ x^y^ z sont des nombres réels (appelés scalars). Les égalités définissant les symboles ^y? A* [elles correspondent à l'égalité (8) du texte] sont
y = ^» fi = ~ A-, 1» = — I , ki =y, ik = —y, fi = — I , /A = ï, ^ = — ^ A* = — 1 ;
dans ces égalités le facteur de gauche est toujours considéré comme le multiplicateur. On
voit qu'on a
ij = — yï, ki = — zA", jk = •— kj.
(Voir TraM élémentaire des quaternions, par Tait, traduit par Plarr. Gauthier- Villars ; 1884.)
Cette égalité et les égalités analogues fournissent chacune n relations entre les e^^; le type général en est
11 est possible de vérifier les égalités (9) et (1 1) par une infinité de systèmes do nombres irpq- On peut le voir de la manière suivante : on se rappelle que nous sommes absolument maîtres (n** 3) de la définition des symboles e,, ^2» • •• ^«; nous pouvons, par conséquent, les définir par la formule
les deux indices/? et ç étant différents, et par la formule
quand les deux indices sont égaux. Alors (8) les i^pq sont tous nuls, excepté
... — ^nnn — ' •
îîî — «H3
Et les égalités (9) et (11) sont vérifiées pour ce système particulier de nombres t^pq* Maintenant, de celui-ci on en déduit une infinité d'autres.
Prenons un système quelconque de n' nombres ^y, assujettis à la seule condition que le déterminant
^/il Srtî • - • Knn
soit différent de zéro. Et posons, en conservant aux ^,, e^, . . .,e,, les définitions indiquées tout à Theure (12 et i3).
El =^11^1 -HÇ|2«î
\ '^n — ^n! ^1 ~+~ Çni^j + . . . -f-
'^nn^fi'
Les n quantités E,, Ej, . .., E;, sont linéairement distinctes (n'^G); et, en tenant compte des formules (12) et (i3), on voit que l'on a
( EpEy=:Eq,Ep,
j (EpE^)E;.=i(E^E|.)E^.
De plus, E^E^ s'exprime en fonction linéaire de e^,(\^, ...,e„, et, par suite aussi, en fonction linéaire deE^, E^, . .., E,„ parce que, d'après la condition S 7^0, les équations (14) donnent e,, ^2, ...*^« en fonction linéaire deE,,E2, .. ., E^.
On a donc
Les nombres s^^^ doivent nécessairement vérifier les égalités (9) et (i i) k cause des relations (1 5), qui ont été établies directement. D'autre part, il y a une infinité de systèmes des nombres ê),^^, puisque ceux-ci dépendent seulement des nombres Ç/y qui sont absolument arbitraires, à la seule condition près
Faisant maintenant abstraction du système E,, E.^, . .., E^^, il est démontré que les égalités (9) et (11) peuvent être vérifiées d'une infinité de façons (*).
11. Cas particulier : n= 2. — Pour simplifier l'écriture, posons On a alors
e\ = Xei-h X'e,,
les diverses conditions que doivent remplir les six coefficients X, V, (a,
(1) La formation des solutions des équations (9) et (11) forme une grande partie du Mémoire de M. Dedekind, dont on trouvera l'exposé dans la troisième Partie. La démonstration que nous donnons ici de Texistence d'une infinité de systèmes de solutions de ces équations, suffît pour atteindre notre but actuel^ et c'est pour cela, sans doute, que M. Weierstrass (Mémoire cité, p. 897) s*est simplement contenté d'affirmer cotte existence.
( lo
(x', V, v' se tirent des deux seules égalités
OU
et se réduisent à
fJL* H- |Jl' V — Xv — |JLV' =1 o.
On peut se donner v quelconque, mais différent de zéro; les trois égalités (i6) sont vérifiées dès qu'on pose
sur les six coefficients, trois sont donc tout à fait arbitraires, et un quatrième n'est assujetti qu'à être différent de zéro. Si Ton prend v = o, on aura
/xVh-|ul'«— w'X — v'X'z^o,
On doit faire (a = o ou \ff = 0. Si \l = o, on n'a plus qu'à vérifier la seule égalité
ce qui permet de prendre, d'une manière quelconque, trois des coefficients. Si (jl'= o, on'a
ce qui exige seulement \l = v', puisque \l est supposé différent de zéro, de sorte que, outre X, deux des trois coefficients (x, X', v' sont arbitraires.
Concluons donc, en réunissant les deux cas v ^ o et v = o, que quatre des six coefficients peuvent toujours être pris arbitrairement.
Les quatre opérations sur les éléments de TEnsemble C.
