Démontrons le théorème suivant

Toute fonction rationnelle entière x des n quantités de la base s* exprime d'une façon, et d'une seule, sous la forme

^i9 ?2> ...» ^71 étant des nombres {réels ou imaginaires) appelés les coordonnées de X.

(1) Je représente, d'une manière générale, par

\^iXt • • • > ^ 1 -^ ïJ^ » • • • » ^ ) l'opération qui consiste à remplacer respectivement x par j/, j par y, . . ., « par z'.

En effet, quelle que soit la fonction entière x des quantités (49)» lorsqu'on y effectuera la substitution

elle prendra une certaine valeur numérique (réelle ou imaginaire) bien déterminée et finie (la fonction œ est entière); soit Xg cette valeur. En effectuant successivement les n substitutions dansa?, nous obtiendrons les n quantités

Dire alors qu'on a l'égalité (Sa), d'après la définition donnée plus haut, c'est dire qu'on a entre les nombres S,, ^2» • • •> in l^s n équations linéaires

Le déterminant (48) de ces équations est différent de zéro; elles donnent donc toujours un système de coordonnées ^^ et un seul, savoir

^y est le mineur du déterminant (48), qui correspond à l'élément Cij et qui est pris avec le signe convenable. Le théorème est donc démontré.

111. Corollaire important. — Le système des qiiantii es mukivalentes ^,, <?2, . . ., e^ est irréductible; en d'autres termes, l'égalité

(55) 4i<?i-+-Çse,4-... + |„e« = o

est impossible, à moins qu'on n'ait simultanément car, la fonction entière et rationnelle de e,, e^, . . ., e,,.

vérifiant Tégalité x = o, on doit par définition obtenir, au moyen des n substitutions (5o),

fcC I — ** J — — • • • — «X- n — \J y

les équations (53) sont alors homogènes, à déterminant difTérent de zéro; donc on a

SI — Çi — • • • — Ç/» — ^«

Dès lors, on voit que e^, e.^, . .., ^;, forment un système de n clefs, de telle sorte que l'égalité

entraine toujours les n suivantes :

SI — ^1» SX — ^2> •••> S" — "^n'

VEnsemhle L sera désormais l'Ensemble de toutes les quantités susceptibles d'être mises sous la forme (Sa) (*).

112. Base complémentaire. — Considérons le Tableau F des n} nombres

Ifu

y 1/1 yirt • • • Jnn*

Associés par colonnes, ils forment n systèmes de n nombres, dont le type général est

('"^S) fs\9 fstf •••> fsn»

Cela étant, soit

un élément de l'Ensemble £; on pourra déterminer les coordonnées ^'/ f 5!/ > ...» \^n P^^ c^tt^ condition que les n substitutions (5o) fassent prendre à f, les valeurs respectives

Js\^ Jsl9 • • • > Jsn*

(^) C'est cette propriété de Tindépendance linéaire des symboles ^i, 6'i, . . ., e» qui a été prise comme point de départ dans la I"* Partie.

(Oo) fl suffira pour cela d'affecter de l'indice supérieur (s) les lettres ^ dans les équations (53) ou (54) et d'y remplacer respectivement a:^, x^, ...,

'^n P^^yji > /j2» • • • • JsH ( )•

On pourra faire une détermination semblable de n éléments /<, /a» "-y/n de l'Ensemble £, et ces éléments jouiront de la propriété qu'aux n substitutions

\^l ^ ^iJ • • • ) ^rt I ^isi ^tsf • • • » ^ns ) \^ — ' > ^j •••»")

correspondront respectivement lesn substitutions (^)

(•">9) (/o/j» '"i/n I /iJj/ïJi . -j/*!*) (5—1,2, ...,//).

Le système des quantités multivalentes est la base complémentaire.